§ 37. Особое поведение решений с отрицательной энергией

После этих предварительных замечаний мы можем перейти к более подробному обсуждению вопроса о состояниях с отрицательной энергией.

Вначале рассмотрим случай свободной частицы. Решения уравнения Дирака в этом случае были получены в § 23. Спектр энергии состоит из двух полупрямых разделенных интервалом длиной (см. рис. 22, а). Первая часть спектра отвечает состояниям с отрицательной энергией: а вторая часть — состояниям с положительной энергией.

Исследуем движение свободного волнового пакета. Мы покажем, что, вообще говоря, центр волнового пакета только в среднем движется по классической траектории. Для этого проинтегрируем уравнения движения в представлении Гейзенберга которые в данном случае имеют вид

Поскольку и Н не зависят от времени, уравнение (207) легко интегрируется

Таким образом, получена явная зависимость от времени и уравнение (206) тоже легко интегрируется

Формула (208) определяет оператор в представлении Гейзенберга в момент времени как функцию от значений, которые принимают операторы и а в начальный момент времени Отсюда мы можем получить закон движения центра любого волнового пакета, который поучительно сравнить с классическим законом

В отличие от классического равномерного прямолинейного движения свободный волновой пакет испытывает сложное движение — результат сложения равномерного прямолинейного движения со скоростью и быстрых осцилляций

Амплитуда и период этих осцилляций («Zitterbewegung» — дрожание) имеют порядок соответственно.

Таких осцилляций не возникает, если пакет представляет собой суперпозицию волн только с положительной энергией или только с отрицательной. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что

где — проекторы на состояния с положительной и отрицательной энергией соответственно (определение (195)). Последовательно находим

И, поскольку то получаем

Откуда мы получаем упомянутое выше свойство, используя дополнительно коммутативность Следовательно, быстрые осцилляции связаны с интерференцией компонент волнового пакета с положительной и отрицательной энергией.

Собственно «дрожание», являясь любопытным эффектом, не представляет какой-либо трудности для теории. Трудность возникает, когда исследуется движение волнового пакета, построенного только из состояний с отрицательной энергией. В этом случае «дрожание» исчезает и центр пакета движется равномерно и прямолинейно со скоростью

которая противоположна по направлению импульсу пакета . В частности, в нерелятивистском пределе получаем соотношений т. е. частица ведет себя так, как если бы она имела отрицательную массу.

Трудность такого рода становится еще более очевидной при исследовании движения волнового пакета в статическом поле.

Рассмотрим, например, электрон в кулоновском потенциале притяжения Спектр состоит из непрерывной части положительных энергий от до серии дискретных уровней положительных энергий, меньших и непрерывной части отрицательных энергий от до (см. рис. 22, б). Напомним, что состояния с отрицательной энергией соответствуют при зарядовом сопряжении состояниям частицы с той же массой

но с противоположным зарядом (т. е. состоянием позитрона), которая находится в том же потенциале. Можно сказать и иначе, что состояния с отрицательной энергией соответствуют состояниям электрона в потенциале При этом соответствии меняет знак энергия и переставляются большие и малые компоненты, а плотность потока и плотность остаются теми же Спектр электрона в потенциале отталкивания изображен на рис. 22, в.

Рис. 22. Спектр энергий электрона Дирака: а) свободного; б) в потенциале притяжения — в потенциале отталкивания

Непрерывная часть положительных энергий в потенциале отталкивания соответствует непрерывной части отрицательных энергий в потенциале притяжения.

Рассмотрим движение волнового пакета из состояний с отрицательной энергией в потенциале предполагая, что справедливо нерелятивистское приближение , энергии порядка Движение будет тем же, что и для пакета волн с положительной энергией, получающегося зарядовым сопряжением. В пределе очень малых скоростей можно использовать классическое приближение (см. § VI. 5), и движение центра пакета будет почти совпадать с движением классического электрона, т. е. с движением частицы отрицательной массы в потенциале Направление скорости противоположно импульсу, а направление ускорения противоположно направлению силы. Такие явления никогда не наблюдались в экспериментах.