§ 29. Разложение по мультиполям. Фотоны с определенным моментом импульса и четностью

Кроме разложения по плоским волнам можно использовать разложение по сферическим волнам, каждая из которых отвечает вполне определенному значению момента импульса и четности. Мы ограничимся тем, что приведем здесь основные формулы, опуская несложные доказательства.

Векторное поле можно рассматривать как трехкомпонентную волновую функцию, определяющую динамическое

состояние частицы спина 1. В представлении поля В посредством компонент существует некоторый произвол. Например, можно было бы задавать однако для нас предпочтительнее использовать стандартные компоненты

Волновая функция зависит от координаты и индекса который параметризует рассматриваемые компоненты

Здесь можно отметить явную параллель между частицами спина 1 и частицами спина 1/2 (см. §§ XIII. 20—21).

Наблюдаемые для частицы спина 1 являются функциями ее координаты импульса и спина . В используемом нами представлении матрицы компонент спина определены уравнениями (XIII.28), в которых следует считать . Легко показать, что число, соответствующее моменту, равному 1.

Орбитальный момент импульса I частицы определяется формулой

а полный момент равен

Компоненты оператора связаны с инфинитезимальными вращениями векторного поля в соответствии с обычным определением оператора момента импульса.

Аналогичным образом определим оператор четности Р, действие которого на поле соответствует преобразованию отражения относительно начала координат

Построим полный набор векторных полей с заданным моментом импульса которые удовлетворяют волновому уравнению

Это эквивалентно отысканию набора общих собственных функций операторов Соответствующие собственные

значения обозначим может быть любым вещественным числом от 0 до (спектр k можно сделать дискретным, рассматривая поле внутри сферы конечного радиуса может принимать любое целое значение от 0 до — целые значения от до

Используя свойства сложения моментов импульса, можно показать, что операторы образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых и каждой тройке отвечают:

(i) если три линейно независимых состояния:

(ii) если то одно и только одно состояние с Эти состояния имеют определенную четность

Вместо классификации состояний по возможным значениям I, можно классифицировать их по свойствам поперечности или продольности и четности. Поперечный или продольный характер поля связан с оператором

В используемом представлении имеем

Для продольного поля для поперечного поля Можно показать, что операторы образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых, и каждой тройке отвечают:

(i) если , три линейно независимых состояния

(ii) если то одно и только одно состояние — четное и продольное

(т. е. уже упоминавшееся -состояние).

Для построения базисных функций будем использовать функции которые были введены в § 7 при рассмотрении скалярного поля. Константу в определении (60) будем считать такой функцией что множество образует полный ортонормированный набор скалярных функций. Каждому набору отвечает одно и только одно продольное состояние. Соответствующая базисная функция равна

(векторное поле четности Каждому набору исключая случай отвечают два поперечных состояния

противоположной четности. Соответствующие базисные функции равны

Отметим, что

Множество полей меняется от 0 до образует полный ортонормированный набор поперечных полей, которые можно использовать для разложений операторов А и

Согласно принятой терминологии слагаемые этих разложениях отвечают электрическому -польному вкладу, а слагаемые — магнитному -польному вкладу. Все рассуждения § 27, где рассматривалось разложение по плоским волнам, можно повторить здесь для разложения по мультиполям. Операторы можно интерпретировать как операторы уничтожения и рождения фотонов с энергией моментом импульса и четностью Спектры значений уже приводились ранее, следует отметить только, что не существует фотонов с нулевым моментом импульса.