Раздел III. СВОЙСТВА ИНВАРИАНТНОСТИ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА

§ 10. Свойства матриц Дирака

Прежде чем рассматривать свойства инвариантности уравнения Дирака, изучим свойства матриц которые удовлетворяют соотношениям

где единичная матрица. Матричные соотношения (66) являются аналогами соотношений (51) между операторами, однако рассматриваемые здесь матрицы не обязаны удовлетворять условиям унитарности (53). Все свойства, которые мы получим, будут следовать только из соотношений (66).

Матрицы Поскольку матрицы антикоммутируют, а квадрат любой из них равен или любое произведение нескольких матриц равно, с точностью до знака, одной из матриц приведенных в табл. II. Матрицы сгруппированы в пять классов каждый из которых содержит 1, 4, 6, 4 и 1 элементов соответственно (причины такой классификации станут ясны в конце этого раздела (см. § 14)).

Таблица II. Матрицы (см. скан)

Ясно, что квадраты этих матриц равны или шесть матриц, квадраты которых равны расположены в левом столбце, десять матриц, квадраты которых равны —I, расположены в правом столбце.

Из всех этих матриц только единичная матрица коммутирует со всеми остальными. Если , то она антикоммутируег с 8 из 16 матриц и коммутирует с 8 оставшимися.

В частности, матрица которая определяется следующим образом

антикоммутирует с

а ее квадрат равен

Обратные матрицы (ул). Определим матрицы соотношением

Очевидно, что

Как следствие, мы получим обратную к матрице если в ее выражении через матрицы изменим порядок их следствия на обратный и каждую матрицу заменим на Обозначим получившееся выражение

Действуя таким образом, находим обратную матрицу к

След и определитель. Справедливо равенство

Для доказательства предположим, что и пусть одна из 8 матриц, антикоммутирующих с

Тогда имеем

Отметим также, что (задача 3)

Лемма о перестройке. Следующее свойство устанавливается простой проверкой. Если умножить каждую из 16 матриц У справа (или слева) на одну из них, то с точностью до знака и порядка получим те же 16 матриц.

Линейная независимость и неприводимость. Используя лемму о перестройке и свойства следа, можно легко показать, что

1°. Матрицы линейно независимы.

2°. Любая матрица М однозначно представляется в виде линейной комбинации матриц

3°. Всякая матрица, коммутирующая с каждой из матриц и, следовательно, с каждой из матриц пропорциональна единичной матрице

Фундаментальная теорема. Пусть — два набора матриц , которые удовлетворяют соотношениям (66). Тогда существует несингулярная матрица определенная с точностью до множителя и такая, что

Доказательство теоремы проведем следующим образом. С каждым набором и связаны 16 матриц определение и свойства которых были приведены выше, так что каждой матрице соответствует некоторая матрица индекс А принимает 16 различных значений. Возьмем некоторую матрицу и обозначим S следующую матрицу:

где суммирование ведется по всем возможным значениям индекса А.

Выберем конкретную матрицу обратная к ней матрица у в, а соответствующая матрица из другого набора . В силу леммы о перестройке, имеем

следовательно

Для доказательства соотношений (73) остается показать, что матрица S имеет обратную. Построим матрицу Т

где — произвольная матрица. Рассуждая как и ранее, получаем

Следовательно,

для любой матрицы Поскольку матрица коммутирует со всеми она пропорциональна единичной матрице: Постоянная с вычисляется по формуле

Матрицу всегда можно выбрать так, чтобы по крайней мере один из матричных элементов S был отличен от нуля. В противном случае легко показать, что матрицы не были бы линейно независимы. После этого можно выбрать так, чтобы

следовательно Таким образом, матрица имеет обратную и, умножая равенство (74) на справа, получаем соотношения (73).

Если существует другая матрица для которой выполнены те же соотношения, то коммутирует со всеми матрицами и, следовательно, Верно и обратное: если для S выполнены соотношения (73), то они выполнены и для любой матрицы, пропорциональной Тем самым мы доказали, что несингулярная матрица S существует и определена с точностью до множителя.

Если матрицы удовлетворяющие соотношениям (66), унитарны

то унитарны все матрицы и, следовательно, они эрмитовы или антиэрмитовы в зависимости от того, равен ли квадрат единичной матрице или

Следующее утверждение, доказательство которого предоставляем читателю, дополняет фундаментальную теорему:

Если и — два набора унитарных матриц , удовлетворяющих соотношениям (66), то существует определенная с точностью до фазового множителя унитарная матрица такая, что .

Комплексное сопряжение, матрица В. В частности, если матрицы удовлетворяют соотношениям (66) и унитарны, то 4 комплексно сопряженных матрицы тоже унитарны и удовлетворяют тем же соотношениям. В силу предыдущего утверждения матрицы и связаны унитарным преобразованием. Обозначим В матрицу этого преобразования (В определена с точностью до фазового множителя)

Можно показать, что В антисимметрична

или, что то же самое, справедливы равенства

Если для матриц y выбрано представление Дирака, то

В этом случае легко проверить справедливость равенств (77).