§ 14. Адиабатическое обращение магнитного поля

Вернемся к задаче § 9 и будем использовать те же обозначения. Начальные условия возьмем те же самые, но неравенство (64) больше не выполняется.

Поскольку гамильтониан системы определяется выражением (63), мы видим, что — хорошие квантовые числа коммутирует с для любых Следовательно, если — начальный вектор состояния, то с течением времени он будет меняться, оставаясь в пространстве векторов, имеющих те же значения и

Рассмотрим подробно случай, когда начальное состояние есть . Имеется всего 6 различных состояний — это линейные комбинации базисных векторов — которые мы будем обозначать

Поскольку все они являются собственными векторами соответствующее собственное значение можно взять за нулевой уровень энергии. Легко определить отвечающие ему уровни энергии Н (задача XVI. 7), которые являются функциями параметра — магнетон Бора) и изображены на рис. 12. Каждый уровень отвечает вполне определенному значению а соответствующий собственный вектор, как показано на рисунке, стремится к некоторому вектору в каждом из пределов Мы рассмотрим последовательно случаи

Рассмотрим вначале случай Существует только одно состояние с таким значением и отвечающий ему вектор есть 11 Это собственный вектор Н для любого и простое вычисление дает

Если начальное состояние атома есть то мы имеем описанный в § 10 случай, когда уравнение Шредингера тривиально

Рис. 12. Положение уровней как функции напряженности магнитного поля Числа в скобках у каждой кривой — квантовые числа собственных состояний в двух предельных случаях: интегрируется. Атом все время остается в этом состоянии, а вектор состояния приобретает только фазовый множитель

В случае линейного изменения магнитного поля (формула (62)) вектор состояния в момент времени Т равен

что верно для любого Т. В частности, в пределе, когда мы получаем результат мгновенного приближения, т. е. вектор

Рассмотрим теперь случай когда значению отвечает два собственных вектора Н — линейные комбинации

векторов . Для решения задачи на собственные значения в подпространстве, натянутом на эти два вектора, выберем их в качестве базисных векторов, и тогда Н (i) будет представлен матрицей

Если ввести матрицы Паули то эту матрицу можно записать в особенно удобном виде

где вектор имеет следующие компоненты:

Введем также единичный вектор и в направлении

Заметим, что вектор и векторный оператор а принадлежат трехмерному векторному пространству, которое, однако, не имеет ничего общего с обычным пространством. Мы использовали простой математический прием, позволивший нам вывести некоторые свойства посредством геометрических соображений, которые справедливы в обычном пространстве.

Из (115) и (116) получаем

есть функция оператора Задача на собственные значения теперь легко решается, они равны а проекторы

Обозначим соответствующие собственные векторы Они определены с точностью до фазы, которую можно фиксировать первым из условий (106), но поскольку эта фаза в дальнейшем несущественна, мы не будем на этом останавливаться. Легко проследить за непрерывной эволюцией этих уровней и соответствующих им проекторов как функций параметра (рис. 13). Когда меняется от до собственный вектор меняется (исключая фазовый множитель) от до а соответствующий уровень движется вдоль

верхней ветви гиперболы на рис. 13; в то же время собственный вектор меняется от до а соответствующий уровень движется вдоль нижней ветви гиперболы.

Предположим, например, что начальное состояние системы есть Если изменение направления поля происходит достаточно медленно, то вектором состояния системы всегда будет вектор (с точностью до фазового множителя), и, после того как поле изменит свое направление на противоположное, система будет находиться в состоянии

Рис. 13. Изменение двух уровней при обращении магнитного поля (обозначения те же, что и на рис. 3). Сплошная кривая соответствует адиабатическому обращению, пунктирная — мгновенному.

Используя результаты предыдущего параграфа, можно определить критерий адиабатичности этого перехода. Используя те же обозначения, находим (соотношение

где — боровская частота перехода

и — проекция скорости на Отсюда следует, что

Так как вектор перпендикулярен и, а — собственные векторы оператора то

При изменении поля по линейному закону (62) максимум достигается при е.

В этом случае условие (118) выполнено, если

где Т — время, необходимое для изменения магнитной энергии связи от до Именно в течение этого периода вектор вращается от Условие (119) показывает, что этот период должен быть велик по сравнению с II — периодом, характеризующим переход

Интересно сравнить условие адиабатического перехода и условие быстрого перехода (64). Последнее, в действительности, является излишне ограничительным. Это необходимое условие для того, чтобы вектор состояния практически не менялся за все время Т обращения поля. Однако за исключением определенного выше интервала Т, собственные векторы гамильтониана остаются практически фиксированными в течение этого времени, а вектор состояния системы просто умножается на фазовый множитель. Для того чтобы динамическое состояние системы осталось неизменным, т. е. чтобы вектор состояния за время обращения поля изменился разве лишь на фазовый множитель, достаточно, чтобы условие быстрого перехода выполнялось только в интервале времени Т, в течение которого происходит вращение собственных векторов Н, т. е.

(см. задачу 8).

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)