§ 15. Использование изотопического спина. Зарядовая независимость

Рассмотрим систему из нуклонов. До тех пор пока рассматриваются системы с определенным числом Z протонов и V нейтронов, a priori проще рассматривать протоны и нейтроны как различные частицы (обычный формализм), нежели описывать

их как нуклоны, которые могут находиться в различных зарядовых состояниях (формализм изотопического спина).

С другой стороны, когда рассматриваются явления, в которых заряд ядра не сохраняется, формализм изотопического спина неизбежен. Классический пример дает -распад. При распаде -радиоактивных ядер число нуклонов остается постоянным, но один из нейтронов преобразуется в протон. В теории этого явления ядра рассматриваются как системы, состоящие из нуклонов, находящихся во взаимодействии с квантованными полями электронов и нейтрино. Теория -распада лежиг вне рамок этой книги, и мы упомянули ее лишь в качестве примера.

Особо важное значение формализма изотопического спина обусловлено тем, что ядерные реакции практически не зависят от куклонного заряда.

Массы нейтрона и протона совпадают с погрешностью, меньшей чем 0,2% и, следовательно, кинетическая энергия нуклона практически не зависит от его заряда

Нуклон-нуклонный потенциал также почти не зависит от заряда, и до тех пор, пока допустимо пренебрежение электромагнитными взаимодействиями, можно считать

Мы собираемся рассмотреть следствия зарядовой независимости в предположении, что между нуклонами действуют только двухчастичные силы 2).

В обычном формализме гипотеза зарядовой независимости находит свое выражение в двух следующих свойствах гамильтониана Н:

(i) Н не зависит ни от ни от а зависит лишь от полного числа нуклонов

Н симметричен относительно перестановок всех частиц, а не только относительно перестановок друг с другом отдельно протонов и (или) отдельно нейтронов.

Эти свойства непосредственно следуют из (87) и (88), ибо если эти соотношения выполняются, то гамильтониан (84) принимает вид

где означает, как и в соотношениях (86а, б, в), суммирование по всем парам из множества частиц.

В формализме изотопического спина гипотеза зарядовой независимости отражается в независимости гамильтониана Я от зарядовых переменных, так что выполняется равенство

где Н в правой части следует рассматривать как оператор в пространстве Это можно показать, либо используя определение (83) операторов в формализме изотопического спина, либо непосредственно вычисляя выражения (85) и (86) для К и 9, предполагая выполненными соотношения (87) и (88). Последняя процедура дает для V выражение

и так как

то

Поскольку не зависит от зарядовых переменных, то он коммутирует с каждой из трех компонент полного изотопического спина

Покажем теперь, что справедливо и обратное утверждение, т. е. что гамильтониан , удовлетворяющий соотношению (91), можно записать в виде оператора, не зависящего от зарядовых переменных.

С другой стороны, является некоторой функцией от обычных переменных и зарядовых переменных каждой из частиц. В виду предположения о характере сил, действующих между частицами, эта функция имеет вид

где зависит лишь от переменных с номером — от переменных с номерами и Однако изотопический спин обладает теми же математическими свойствами, что и обычный спин и, в частности, компоненты векторов имеют те же свойства, что и матрицы Паули. Это выражается в том что любая функция от может быть представлена в виде линейной комбинации этих операторов. Поскольку Н коммутирует с Т, то он инвариантен также и относительно вращений в , следовательно, является скалярной функцией векторов Итак, является линейной скалярной функцией от , следовательно, не зависит от тогда как будучи линейной скалярной функцией от имеет вид

где — функции только от орбитальных и спиновых переменных. Для завершения доказательства необходимо показать, что действие на антисимметричные векторы пространства совпадает с действием на эти векторы оператора, затрагивающего только переменные из Произведение связано с оператором описывающим транспозицию в зарядовом пространстве, соотношением Дирака

Для доказательства равенства (92) введем изотопический спин пары

Любое состояние в зарядовом пространстве является суммой состояния , для которого и состояния для которого Каждое триплетное состояние симметрично, а каждое синглетное — антисимметрично по переменным и . Таким образом,

и, следовательно,

Отсюда с учетом тождества

получаем (92). Итак, мы имеем

Однако в пространстве антисимметричных векторов в

Тогда

и оператор может быть заменен на выражение

действующее только на переменные обычного пространства.

Эквивалентность зарядовой независимости и вращательной инвариантности в зарядовом пространстве имеет общий характер. Поскольку все математические результаты, относящиеся к вращениям (сложение изотопических спинов, теорема Вигнера — Эккарта, правила отбора, и т. д.), справедливы и в частном случае вращений в зарядовом пространстве, то указанная эквивалентность обеспечивает удобный метод учета зарядовой независимости ядерных сил.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)