Раздел I. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

§ 2. Определение и вычисление по теории возмущений вероятностей переходов

Приведенные выше рассуждения можно использовать, в частности, тогда, когда не зависит от времени. В этом случае оператор эволюции имеет простой вид

Предположим, что собственные значения известны и, если не оговорено противное, спектр будем считать для простоты дискретным. Обозначим полный набор собственных векторов оператора отвечающие им собственные значения. Будем использовать также обозначения

где — частота Бора, отвечающая переходу — соответствующий матричный элемент

Предположим, что в момент времени система находилась в состоянии, собственном для например, в состоянии а. Мы хотим вычислить вероятность того, что при измерении в момент времени система будет находиться в другом собственном состоянии оператора например, в состоянии Эту величину, которую, по определению, будем называть вероятностью перехода из а в обозначим через Ясно, что

Если бы V равнялось нулю, то вектор, представляющий состояние системы в момент времени отличался бы от вектора начального состояния только фазовым множителем и вероятность перехода была бы равна нулю. Разложение амплитуды вероятности в ряд по степеням V получается подстановкой вместо разложения (17)

где определяется формулой (18).

В представлении вклады низших порядков в амплитуду равны

В приведенных равенствах суммирование происходит по всем базисным векторам представления

Вклады различных порядков можно схематически изобразить посредством диаграмм рис. 10.

Рис. 10. Диаграммы, изображающие вклады различных порядков в амплитуду вероятности перехода из а в первого порядка, (ii) второго порядка, (iii) третьего порядка.

Диаграмма (i) представляет вклад первого порядка или, более точно, произведение, стоящее в скобках в правой части (24). Непрерывная линия отвечает эволюции системы во времени. От до эволюция определяется невозмущенным гамильтонианом и система, следовательно, остается в состоянии а, вектор состояния умножается просто на множитель

. В момент времени система под действием возмущения переходит из а и что выражается матричным элементом перехода От до эволюция вновь определяется и система остается в состоянии а вектор состояния умножается на Следуя по диаграмме снизу вверх, получаем три множителя, которые расположены в скобках справа налево. Вклад первого порядка получается после интегрирования этого произведения по т.

Точно так же диаграмма представляет поправку второго порядка. Эволюция системы от до определяется затем под влиянием система переходит из состояния а в промежуточное состояние эволюция от до определяется в момент времени под влиянием система переходит из состояния в конечное состояние после чего ее развитие во времени от до вновь определяется оператором Таким образом, мы получаем пять множителей, расположенных в скобках правой части (242) справа налево. Вклад второго порядка получается интегрированием по и суммированием по всем промежуточным состояниям. Имея в виду такой способ описания развития во времени переходов второго порядка, состояние часто называют виртуальным состоянием, в отличие от состояний а и и говорят, что переход второго порядка происходит через виртуальное состояние.

Таким же образом, переходы третьего порядка, представленные диаграммой (iii), происходят через два виртуальных состояния k и Возмущающий потенциал появляется последовательно три раза в моменты времени переводя систему из состояния а в из в и из в . Аналогично переходы порядка происходят через виртуальных состояний.

Взяв первых членов разложения (23), получаем искомую амплитуду вероятности с точностью до порядка Квадрат модуля этой амплитуды дает, по определению, вероятность перехода порядка

В частности, вероятность перехода в первом порядке дается формулой

Отметим, что в этом приближении

Последнее соотношение, вообще говоря, перестает выполняться в высших порядках. Его не следует смешивать со свойством микрообратимости, т. е. с равенством которое выполняется только, когда гамильтониан инвариантен относительно обращения времени; в этом случае равенство выполняется во всех порядках (§ XV. 20).