Раздел I. КВАНТОВАНИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ

§ 2. Классические свободные поля. Нормальные колебания

Классическое вещественное скалярное поле определяется в каждый момент времени заданием его амплитуды в каждой точке пространства

Поле можно рассматривать как динамическую систему с бесконечным числом степеней свободы. Каждой точке пространства отвечает некоторая координата системы — значение поля в этой точке.

Динамика такой системы не существенно отличается от динамики системы с конечным числом степеней свободы. Однако

поскольку координаты в данном случае нумеруются непрерывными параметрами, например, тремя компонентами х, у, z радиус-вектора дифференцирование по времени заменяется на частную производную и эволюция системы определяется уравнением движения вида

Правая часть этого уравнения есть функционал амплитуды и ее частной производной которые берутся в один и тот же момент времени Динамическое состояние системы в данный момент времени определяется, если известны ее положение и скорость в начальный момент времени т. е. значения поля и их производные по времени

Из всех уравнений движения, которые инвариантны относительно неоднородной группы Лоренца, простейшим является уравнение Клейна — Гордона

где — некоторая постоянная. Это линейное и однородное по Ф уравнение определяет эволюцию свободного поля. В дальнейшем мы увидим, что есть масса связанных с квантовым полем частиц (§ 6).

Если бы в левой части уравнения (1) отсутствовал член то движения различных координат системы были бы независимыми и каждое представляло бы собой гармоническое колебание с частотой (I, а амплитуда и фаза определялись бы начальными условиями. Слагаемое связывает эти гармоничен ские колебания.

Сейчас мы покажем, что введя нормальные координаты, такое множество связанных осцилляторов можно преобрязовать в множество независимых осцилляторов.

Обозначим полный ортонормированный на бор вещественных собственных функций эрмитова оператора Спектр собственных значений расположен от 0 до Собственное значение, отвечающее функции обозначим Таким образом, имеем

Из соотношений ортогональности и замкнутости (3), (4) получаем разложения

Величины представляют собой нормальные координаты. Из уравнений (6) и (1) получаем

Таким образом, каждое определяет движение независимого гармонического осциллятора с частотой . В силу уравнения (5) амплитуда поля равна линейной суперпозиции этих независимых осцилляторов.

В предыдущих рассуждениях мы предполагали, что базисные функции нумеруются дискретным индексом. В действительности спектр оператора непрерывный, заполняющий полуось , и функции нумеруются набором индексов, из которых по крайней мере один непрерывный. Несложно повторить приведенные выше рассуждения в случае непрерывных индексов. С учетом незначительных модификаций, на которых мы здесь не останавливаемся, результаты останутся теми же. Однако наличие непрерывных индексов осложняет изложение квантовой теории. Чтобы избежать этого, мы будем предполагать, что поле находится в конечном объеме пространства и на поверхности этого объема удовлетворяет подходящим граничным условиям. Физические величины, которые мы хотим сосчитать, получаются из величин, вычисляемых в формализме с конечным объемом, при неограниченном увеличении этого объема. Искусственный прием такого типа уже был описан в § V. II. Этот прием, очевидно, не является строгим, следует отметить также, что он частично нарушает свойства инвариантности теории.