Раздел IV. ПЕРЕСТАНОВКИ

§ 14. Основные понятия. Циклы. Классы

Определение. Предположим, что нам даны объектов, распределенных в «ящиках» например, частиц в квантовых состояниях. Перестановкой этих объектов называется изменение их распределения по этим «ящикам». Мы можем обозначить объекты целыми числами от 1 до и определить данную перестановку символом

где — целые числа от 1 до записанные в произвольном порядке, а — те же целые числа, записанные в таком порядке, что объект занимает при новом распределении место объекта с номером в исходном распределении. Так, при перестановке 5 объектов

объект 5 занимает место объекта 1, 3 — место 2 и т. д. Как видно, значение символа перестановки не меняется при изменении в нем расположения столбцов.

Последовательное применение двух перестановок эквивалентно одной перестановке . Последнюю легко выписать, если верхняя строка символа совпадает с нижней строкой символа Например, если определенная выше перестановка, а имеет вид

то

В частности, обратной к будет перестановка, символ которой получается из символа заменой строк

Перестановки объектов образуют группу порядка

Циклические перестановки. Обозначение. Перестановка

в которой занимает место — место а — место — место а, а остальные объектов остаются на своих местах, по определению называется циклической перестановкой или циклом объектов называется длиной цикла. Такую перестановку можно представить символом

Условимся, что первый объект в этой строке занимает место последнего , а каждый последующий — место предыдущего При таком обозначении порядок элементов определен только с точностью до циклической перестановки.

Два цикла, не имеющие общих элементов, коммутируют.

Произвольная перестановка объектов равна произведению коммутирующих циклов (эти циклы не имеют общих элементов) и такое разбиение на циклы единственно.

Так, определенная выше перестановка равна произведению двух циклов (154) и (23) и ее можно записать в виде

Аналогично

Цикл единичной длины эквивалентен тождественному преобразованию и его можно опустить, записав просто . Если такие циклы не опускать, то сумма длин всех циклов перестановки равна

Каждая перестановка полностью определяется:

(i) ее структурой циклов, т. е. числом циклов и длинами циклов

(ii) набором чисел в каждом цикле и порядком этих чисел с точностью до циклической перестановки.

Если обратить порядок следования чисел в каждом цикле, то получится обратная перестановка. Так,

Классы. Две перестановки с одинаковой структурой циклов принадлежат к одному классу. Обратное утверждение также справедливо.

Циклическое обозначение для сопряженного к элемента получается применением перестановки х к последовательности чисел, фигурирующих в циклическом обозначении Например,

Транспозиции. Транспозицией называется перестановка двух объектов (цикл длины 2). Транспозиции образуют класс в

Произвольный цикл данной длины равен произведению транспозиций

Вообще, любая перестановка может быть записана как произведение транспозиций. Такое разбиение не является единственным, но число транспозиций в нем имеет определенную четность, оно либо четное, либо нечетное, что мы будем обозначать как По определению, перестановка называется четной или нечетной в соответствии со знаком или —1.

Подгруппы группы . Группа . Группа имеет только одну инвариантную подгруппу — группу четных перестановок Индекс равен 2, дополнением к ней является множество нечетных перестановок, а фактор-группа -абелева.

Среди других подгрупп в отметим группы перестановок из объектов где группы Индекс равен а индекс равен

Симметрнз аторы и антисимметризаторы группы . Особую роль играют две линейные комбинации всех перестановок группы симметризатор s и антисимметризатор а:

(суммирование происходит по всем элементам Они коммутируют со всеми элементами группы и обладают следующими свойствами: