§ 21. Продольная и поперечная часть векторного поля

Любое вещественное или комплексное векторное поле можно рассматривать как суперпозицию двух полей

одно из которых — безвихревое, а другое — поле с нулевой дивергенцией. Получаем

Если ограничиться рассмотрением квадратично-интегрируемых векторных полей, то такое разложение единственно. По определению поля представляют соответственно продольную часть и поперечную часть поля В. Справедливы соотношения

Такое разложение легко произвести, используя преобразование Фурье. Обозначим преобразования Фурье полей соответственно

Уравнения (164) и (165) эквивалентны следующим уравнениям:

Проекция вдоль вектора равна отсюда название для В и — продольная часть. Проекция перпендикулярная вектору равна отсюда название для — поперечная часть. Уравнения (166) и (167) эквивалентны соответственно уравнениям

Преобразование Фурье функции (определение (166)) равно

[N. В. Преобразование Фурье равно ].

Говоря более общим образом, пространство квадратично» интегрируемых векторных полей — пространство волновых функций частицы спина 1 — представимо в виде прямой суммы двух ортогональных подпространств: пространства продольных полей и пространства поперечных полей. Рассмотренное нами разложение сводится к тому, что поле В можно записать в виде суммы его проекций на эти дополнительные друг к другу подпространства.

Проекции можно получить автоматически, выбирая подхо» дящий базис. Пусть

полный ортонормированный набор продольных полей, а

полный ортонормированный набор поперечных полей:

Введем обозначения

Тогда имеем

Использование преобразования Фурье позволяет выбрать подходящий базис, состоящий из продольных и поперечных плоских волн. Каждому волновому вектору отвечает продольное поле

и два ортогональных друг другу поперечных поля

где — два произвольных единичных вектора, ортогональных вектору и друг другу:

Компоненты вектора В в этом базисе (определение (171)). связаны с векторами равенствами

Плоские волны здесь зависят от непрерывного индекса к и нормированы на . Для того чтобы иметь дело только с дискретными индексами, применяют обычный прием. Систему помещают в куб со стороной тогда множитель в определении (173 а, б) нужно заменить на

Часто в качестве базиса выбираются также сферические волны. К этому вопросу мы еще вернемся в § 29.