ГЛАВА XVIII. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ЗАДАЧИ

§ 1. Вариационный метод Ритца

Кроме метода ВКБ, который имеет очень узкую область применения, существуют два основных метода приближенного определения уровней энергии и волновых функций дискретного спектра: теория возмущений (глава XVI) и вариационный метод. Настоящая глава посвящена второму из этих методов.

Вариационный метод является универсальным и может быть использован во всех тех случаях, когда уравнения представимы в вариационной форме. Основа метода состоит в следующем. Искомые решения принадлежат некоторому функциональному пространству произвольную функцию из этого пространства обозначим Предположим, что решения исследуемого уравнения есть функции из У, для которых стационарен некоторый функционал Тогда уравнение эквивалентно вариационному уравнению

Вариационный метод Ритца состоит в поиске решений уравнения (1) среди функций из пространства У, которое уже, чем пространство У.

Предположим, например, что У — множество всех волновых функций системы. Выберем ряд конкретных волновых функций , параметризованных некоторым числом непрерывных индексов Множество этих функций У представляет собой только часть У. Величина Q, рассматриваемая как функционал от Ф, сводится к обычной функции от вариационных параметров т. е.

Каждый набор значений для которого эта функция стационарна, определяет приближенное решение уравнения (1).

Успех метода существенно зависит от выбора пространства пробных функций У. Пробная функция должна быть достаточно проста для проведения вычислений и в то же время

должна меняться в достаточно большой или достаточно подходящей области, чтобы полученное решение было близко к точному.

На практике стационарные значения Q имеют вполне определенный физический смысл. Одно из основных достоинств вариационного метода заключается в непосредственной и точной оценке этих значений. Ясно, что разность между тем меньше, чем ближе приближенное решение к точному более того, поскольку величина стационарна в точке эта разность является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем разность между и Таким образом, вариационный метод особенно удобен для вычисления таких величин, которые можно представить в виде стационарных значений функционалов. Именно так обстоит дело в случае уровней энергии связанных состояний. В главе XIX мы увидим также, что метод может быть использован для вычисления амплитуд рассеяния.

Вычисление уровней дискретного спектра вариационным методом приведено в разделе I этой главы. В остальных двух разделах мы рассматриваем две важные задачи, используя методы, более или менее связанные с вариационным методом: определение волновых функций сложных атомов в приближении самосогласованного поля методами Хартри и Фока — Дирака (раздел II) и адиабатическое приближение Борна — Оппенгеймера для молекул (раздел III).