Раздел II. ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

§ 8. Спектр операторов l^2 и lz

Вернемся к квантовой системе одной частицы, с которой мы начали рассмотрение в § 2. Выбирая ось в качестве полярного направления, мы можем выразить оператор l^2 и компоненты

оператора I как функции полярных углов и их производных (см. уравнения (Б.82) - (Б.84) ). В дальнейшем изложении радиальную переменную можно опустить. Мы намереваемся построить функции удовлетворяющие двум уравнениям на собственные значения:

Так как волновая функция является однозначной функцией то не должна меняться при замене на Уравнение (30) уже исследовалось в § V.12. Так как то имеет вид где — целое. Коль скоро — целое, должно быть целым и I, следовательно, не существует полуцелого орбитального углового момента.

Для того чтобы среди целых чисел (0) найти те, которые являются собственными значениями I, и определить их вырождение, построим собственные функции отвечающие угловому моменту (1,1). Такая функция определяется уравнениями

Они эквивалентны системе уравнений (29) — (30) при так как в силу тождества (9а)

Из (32) вместе с (31) следует (29) и обратно. Система уравнений в частных производных первого порядка (31) — (32) легко решается, коль скоро даны дифференциальные операторы Из уравнения (31) имеем

Подставляя это выражение в уравнение (32), получаем дифференциальное уравнение

решение которого с точностью до произвольного множителя есть Каждому целому числу отвечает одна и только

одна собственная функция (определенная с точностью до множителя), соответствующая угловому моменту

Следовательно, спектр оператора состоит из последовательности чисел где I принимает все целые значения от 0 до Каждому собственному значению соответствует собственных значений оператора целых чисел в интервале Каждой паре соответствует одно и только одно собственное состояние (если мы ограничимся только функциями от 0 и ): спектр операторов в целом невырожден.