§ 9. Уравнения Фока — Дирака

При вариационном решении уравнения Шредингера в приближении самосогласованного поля функционал стационарен по отношению к Z ортонормированным векторам Стационарность Е при вариации этих векторов, которые удовлетворяют условиям (20), эквивалентна существованию постоянных (метод

множителей Лагранжа) таких, что выполнено вариационное уравнение

Постоянные можно рассматривать как элементы некоторой матрицы . Эта матрица эрмитова, поскольку в силу вещественности Е вариация также вещественна, и, вычитая из уравнения (26) комплексно сопряженное уравнение, получаем

откуда следует, что

Z векторов образуют ортонормированный базис некоторого подпространства пространства одночастичных состояний. Замена базиса в этом подпространстве приводит к умножению вектора на фазовый множитель. Действительно, пусть — унитарная матрица определяющая переход к новому базису и

В силу хорошо известного свойства произведения детерминантов определитель Слетера Z новых векторов равен произведению определителя Слетера Z старых векторов на Следовательно,

а поскольку матрица унитарна, то Отсюда мы заключаем, что функционал инвариантен относительно изменения базиса, а вариационное уравнение (26) определяет набор с точностью до такого изменения.

Используя уравнение (26), легко показать, что справедливо аналогичное уравнение

где матрица связана с преобразованием подобия

В частности, матрицу можно выбрать таким образом, чтобы матрица в была диагональной. Так как вариационная задача не зависит от выбора базиса, мы будем считать в

дальнейшем матрицу диагональной. Тогда вариационное уравнекне (26) примет вид

Используя уравнения (22), (24) и (25), несложно сосчитать после чего левая часть уравнения (26) становится однородной линейной комбинацией вариаций Потребовав, чтобы она обращалась в нуль при любых вариациях, которые рассматриваются как независимые (см. примечание на стр. 256), и учитывая эрмитовость гамильтониана Н, получаем (не приводя здесь детальных вычислений) Z уравнений для Z ортонормированных векторов , а именно

Отметим отсутствие множителя перед суммами в левой части. Умножив скалярно обе части на и просуммировав по X, находим

К обсуждению этого соотношения мы вернемся в дальнейшем.

Обычно используют представление кет-векторов их волновыми функциями

где обозначает пространственные и спиновые координаты.

Удобно ввести «электронную плотность»

Это — матричное представление проектора на определенное выше пространство

Диагональные элементы

представляют собой плотность вероятности найти электрон в точке

Взаимодействие является некоторой вещественной, симметричной функцией переменных которую в дальнейшем мы будем обозначать Введем следующие обозначения:

где символ означает интегрирование по пространственным координатам и суммирование по спиновым переменным, С учетом этих обозначений уравнения (I) принимают вид интегро-дифференциальных уравнений

Это интегро-дифференциальные уравнения Фока — Дирака.

Решать такие уравнения можно методом итераций. Используя приближенное значение для плотности и подставляя его в уравнения (30) и (31), получаем приближенные значения для величин При известных величинах уравнения (II) становятся уравнениями на собственные значения, первые Z решений которых дают новое значение для плотности. Используя и повторяя предыдущие операции, получаем новое значение — Если последовательность сходится, то она стремится к точному решению. Однако обсуждать вопросы сходимости мы здесь не будем. Отметим только, что скорость сходимости зависит от выбора