Раздел I. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. АНТИЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

§ 2. Три полезные теоремы

Теорема I. Справедливость соотношения

является необходимым и достаточным условием равенства двух линейных операторов А и В.

Теорема II. Необходимое и достаточное условие совпадения с точностью до фазового множителя двух линейных операторов А и В

состоит в справедливости равенства

Теорема III. Если между векторами пространства существует взаимно однозначное соответствие определенное с точностью до произвольного постоянного фазового множителя и сохраняющее модуль скалярного произведения, то фазовые множители всегда можно выбрать таким образом, чтобы У было либо линейным унитарным, либо антилинейным унитарным.

Теорема 1 доказана в главе VII (§ 5). Она приведена здесь только для полноты изложения.

В теореме II условие (2) очевидно следует из (1). Для доказательства обратного утверждения выберем конкретное представление, в котором обозначим матричные элементы операторов А и В соответственно. Поскольку для базисных векторов представления условие (2) справедливо, то

Считая, что элемент базиса, а — линейная комбинация базисных векторов, мы получим аналогично

для всех значений комплексных коэффициентов Учитывая (3), можно переписать последнее равенство в виде

Для справедливости этого равенства при всех необходимо выполнение условия

Полученное соотношение с учетом (3) дает

При заданном те же рассуждения можно применить к различным индексам столбцов что показывает независимость отношения от Переставив местами строки и столбцы, мы можем повторить доказательство и показать, что отношение не зависит также и от Поскольку (3) означает равенство матричных элементов А и В по абсолютной величине, то модуль рассматриваемого отношения должен быть равен единице и

Иными словами, операторы А и В совпадают с точностью до фазы

Рассмотрим теперь теорему III. По предположению каждому вектору из отображение сопоставляет вектор Этот вектор определен с точностью до фазового множителя. Осуществим конкретный выбор значения фазы у каждого из векторов Тогда отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами из

сохраняющее модуль скалярного произведения

Пусть векторы

образуют полное ортонормированное множество векторов в . Соответствующее ему множество

также является полным и ортонормированным. Его ортонормированность следует из того, что в силу (II) сохраняет нормировку и ортогональность. Полнота следует из того, что если существует вектор ортогональный всем векторам (5), то вектор будет ортогонален всем векторам (5), что противоречит предположению о полноте системы (5). Обозначим

Мы собираемся показать, что при соответствующем выборе фаз для «штрихованных» кет-векторов справедливо одно из приводимых ниже соотношений:

Заметим, что условие (II) означает

Таким образом, нам следует изучить только фазовые соотношения между

С этой целью зафиксируем фазу каждого из базисных кет-векторов требуя, чтобы вектору соответствовал вектор

Докажем сперва соотношения (7), предполагая, что «вещественный» кет-вектор, т. е. когда все вещественны. Применив условие (II) к скалярному произведению векторов имеем

Выбрав фазу вектора так, чтобы получим требуемый результат, Приведенное рассуждение неприменимо к случаю, когда Однако можно изменить аргументацию так, чтобы включить в рассмотрение и этот случай. Поскольку такое расширение очевидно, мы не будем приводить его.

Рассмотрим теперь произвольный кет-вектор . Применив условие к скалярному произведению с «вещественным» кет-вектором получаем

что справедливо при любом выборе и Для того чтобы этот результат стал более наглядным, удобно использовать следующую геометрическую интерпретацию векторов Сопоставим вектору ломаную линию полученную путем совмещения концов векторов комплексной плоскости, описывающих последовательные компоненты Аналогично описывается ломаной линией построенной из векторов, представляющих Соотношение (8) означает тогда, что расстояние между двумя любыми вершинами ломаной совпадает с расстоянием между двумя соответствующими вершинами ломаной Как следствие: а) либо можно совместить с поворотом; б) либо можно совместить с поворотом и отражением относительно вещественной оси.

В случае а) выберем фазу требуя При таком выборе совпадают, т. е.

В случае б) наш выбор фазы таков, что В этом случае является зеркальным отражением ломаной относительно вещественной оси, т. е.

Наконец, мы должны показать, что в действительности имеются лишь эти две возможности: либо все кет-векторы соответствуют случаю а), либо они все соответствуют случаю б).

Будем предполагать для конкретности, что заданный вектор соответствует случаю а). Тогда всякий вектор компоненты которого не обращаются в нуль и имеют относительную фазу, отличную от также соответствует случаю а), что легко получить применением условия (II) к скалярному произведению Эти рассуждения могут быть применены и к векторам, компоненты которых обращаются в нуль, либо имеют относительную фазу, равную . Те же аргументы переносятся и на случай б).

В результате получаем две возможности:

Случай а). При подходящем выборе фаз применимо соотношение (7а). В этом случае соответствие очевидно

является линейным. Более точно, справедливо равенство

означающее, что — линейный унитарный оператор.

Случай б). При подходящем выборе фаз применимо соотношение (76). Отображение, очевидно, антилинейно.

В этом случае имеем

В соответствии с определением понятия унитарности для антилинейных операторов, которое приведено ниже, является унитарным антилинейным оператором.