§ 5. Обсуждение. Вычисление возбужденных уровней

Вариационный метод является очень удобным и сильным методом, но в нем трудно оценить точность результатов.

Отсутствует безошибочный способ определения того, для какого уровня получено приближенное значение, какова, a fortiori, погрешность результата. Часто, однако, можно ответить на первый из этих вопросов, сравнивая общий вид полученной волновой функции (число нулей, поведение в начале координат и на бесконечности) с аналогичными характеристиками точного решения или по крайней мере с тем, что известно a priori о точном решении. Обычно выбирают пробные функции, имеющие простой аналитический вид и ограниченное число цилляций (или нулей), так что они имеют много шансов быть близкими к волновой функции основного состояния.

Приведенные рассуждения показывают, что вариационный метод особенноудобен для вычисления энергии основного состояния, для которого он дает оценку сверху (лемма (6)). К сожалению, не существует надежного метода для оценки порядка величины ошибки (см. задачу 1). Все зависит от выбора проб

ной функции, т. е. от выбора и расположения функциональной области

Необходимость выбора более сложных пробных функций, трудности в интерпретации результатов, в определении порядка и знака ошибок делают рискованным использование вариационного метода для вычисления возбужденных уровней. Суще ствуют, однако, две ситуации, в которых его использование возможно.

Прежде всего, если известна волновая функция основного состояния то пробную функцию Ф следует выбирать среди функций, ортогональных к 4V В этом случае значение функционала не меньше энергии первого возбужденного состояния

и вариационный метод дает верхнюю оценку для (см. задачу 2). Может случиться, что вместо точной известна приближенная волновая функция основного состояния (определенная, например, вариационным методом). В этом случае для вариационного вычисления используют пробные функции, ортогональные к при условии, что разность между достаточно мала, т. е. если

(функции имеют норму 1). Стационарная функция которая, как мы предполагаем, имеет норму 1, не ортогональна больше и неравенство (10) может быть неверным, но обязательно

откуда следует, что

Вторая благоприятная ситуация возникает в случае, когда оператор Н обладает симметрией. Предположим, например, что Н инвариантен относительно вращений. Тогда собственные значения и собственные функции классифицируются посредством квантовых чисел , т. Пусть функции с моментом импульса образуют пространство Выбирая пробную функцию из мы можем провести вариационное вычисление уровней а точнее — низшего из них, и вариационный метод автоматически дает оценку этого уровня сверху (задача 4),