Раздел III. ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

§ 11. Инвариантные наблюдаемые

Мы рассмотрим теперь вопрос об инвариантности сам по себе. Пусть — некоторая группа преобразований. Обозначим соответствующую группу операторов и пусть Г — фиксированный элемент из Будем предполагать, что все Г - линейны (и унитарны). Обращение времени — единственное преобразование, приводящее к рассмотрению антиунитарных операторов, будет исследовано в разделе IV.

Инвариантность наблюдаемой Q при преобразованиях группы выражается условием т. е.

Мы уже анализировали те следствия, которые можно извлечь из этих коммутационных соотношений в случае группы вращений (§ XIII. 17). Используя понятие группы и свойства линейных представлений группы (см. Дополнение Г и, в частности, § Г. 9), эти следствия можно сформулировать весьма общим образом. Обозначим базисные векторы стандартного представления группы Эти векторы нумеруются тремя квантовыми числами (или тремя наборами квантовых чисел). Индекс обозначает неприводимое представление, которому принадлежит вектор Индекс различает базисные векторы заданного неприводимого представления, дополнительное квантовое число, позволяющее, при необходимости, различать, ортогональные эквивалентные неприводимые подпространства. Мы намеренно будем использовать те же обозначения, что и в § XIII. 6, очевидным обобщением материала которого является настоящее обсуждение. Важнейшим свойством Q является аналог соотношения (XIII. 120), а именно,

Полное доказательство этого соотношения приведено в Дополнении Г (см. ур. (Г. 20)).

Во многих случаях это соотношение удается получить и без ссылки на общую теорию представлений групп. Для этого необходимо найти среди функций операторов Т.

(i) множество наблюдаемых, которые инвариантны относительно всех операций группы и собственные значения которых нумеруются квантовым числом (или набором квантовых чисел);.

(ii) множество М наблюдаемых, которые коммутируют друг с другом, но не со всеми элементами из группы, и собственные значения которых нумеруются квантовым числом х.

Очевидно, что и М образуют множество коммутирующих наблюдаемых и, следовательно, оператору Q соответствует особенно простая матрица в каждом из представлений, где наблюдаемые и М диагональны, а именно, матрица, определяемая соотношением (52).

Этот метод успешно применялся нами к группе вращений (см. ур. (XIII. 120)). В этом частном случае мы нашли одну наблюдаемую категории (i), а именно, и одну наблюдаемую категории (ii), а именно, Этот метод также может быть применен к группе вращений и отражений с т. е. полным моментом импульса и четностью, как элементами множества I

из категории (i) и наблюдаемой в качестве множества М из категории Отметим, что имеется определенный произвол в выборе М. В случае группы вращений обычно используют однако с тем же успехом можно использовать или а также любую другую компоненту векторного оператора

Собственные состояния наблюдаемой Q получаются диагона-лизацией по отдельности матриц каждая из которых соответствует вполне определенному собственному значению оператора Итак, каждому значению соответствует набор собственных значений наблюдаемой Q, которые при необходимости нумеруются квантовым числом (или числами) Пусть есть число возможных значений ( в случае вращений). Каждому из этих значений соответствует одна и та же матрица Таким образом, каждое невырожденное собственное значение этой матрицы является -кратно вырожденным собственным значением наблюдаемой Q, а каждое -кратно вырожденное собственное значение этой матрицы является -кратно вырожденным собственным значением . Если , то все собственные значения наблюдаемой Q, соответствующие квантовому числу вырождены и степень их вырождения кратна Это вырождение является непосредственным следствием инвариантности Q относительно группы и называется -вырождением.