Раздел IV. МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИЯ

§ 10. Вращения. Операторы вращения, R^J-матрицы

Операции, написанные в правой части равенства, выполняются в порядке справа налево (см. рис. 30).

Рис. 30. Углы Эйлера

Присоединенная матрица: матрица преобразования координат векторов (обозначена той же буквой что и само вращение).

Если — некоторый вектор, — его преобразование при вращении то имеем:

— элементы присоединенной матрицы.

(Следствие. Если есть преобразование единичного вектора вдоль оси , то получим:

Оператор вращения. Унитарный оператор примененный к вектору задает его преобразование при вращении

Если Q — наблюдаемая квантовой системы, то

Если есть векторный оператор, то

(N. В. Здесь фигурирует преобразование, обратное к , а не само ) Применение (48) к преобразованию компонент момента нмпульса I при вращении дает

Выражение через составляющие полного момента импульса 1. Бесконечно малое вращение:

Конечные вращения:

Соответствие между вращениями и операторами вращения. Взаимнооднозначное соответствие, существующее между бесконечно малыми вращениями и операторами близкими к 1, может не иметь места в случае конечных вращений.

В общем случае любому конечному вращению соответствуют два оператора и удовлетворяющие уравнению

где оператор D определяется так:

Для равенства необходимо, чтобы пространство векторов состояния было образовано векторами, отвечающими только целым значениям

Пусть набора углов Эйлера, определяющих одно и то же вращение (уравнение (XIII. 42)). Тогда

Матрицы вращений Это матрицы порядка с элементами

Векторы фиксировано, есть собственные векторы операторов , которые связаны друг с другом соотношениями (6).

Матрица