§ 6. Плоские волны. Определение импульса

Среди различных наборов комплексных базисных функций имеется выделенный набор — плоские волны. Как мы увидим ниже, они соответствуют состояниям отдельных частиц с определенным импульсом.

Для того чтобы иметь дело с дискретными индексами, мы будем предполагать, что поле заключено в кубе со стороной и потребуем для функций выполнения соотношения

и аналогичных соотношений для аргументов у и z. Данные условия являются простыми обобщениями условия периодичности, описанного в § V. 11.

В качестве базисных функций мы можем выбрать плоские волны

для которых компоненты волнового вектора кратны

Мы получаем полную ортонормированную систему базисны функций, придавая числам все возможные целые значения

Каждой из этих плоских волн соответствует оператор уничтожения и оператор рождения . Поле задается разложением (см. ур. (39))

сопряженный полю импульс (см. ур. (40))

а гамильтониан (см. ур. (41))

где суммирование происходит по всем возможным значениям k, т. е. по всем возможным значениям

Как уже объяснялось в § V. 11, ответы для случая неограниченного пространства получаются при стремлении к бесконечности. В этом пределе суммирование заменяется интегрированием. В каждом малом интервале имеется возможных значений трех чисел Если допустить, что суммируемые члены можно рассматривать как непрерывные функции параметра (это естественно, имея в виду цредельный переход , то каждый символ Z можно заменить на символ интегрирования

Величина есть плотность индивидуальных состояний в пространстве волновых векторов. Название плотность уровней используют, как правило, для числа состояний в единице телесного угла и в единичном интервале энергии, так что плотность уровней есть функция энергии Число состояний волновой вектор которых находится в телесном угле а энергия расположена в интервале равно

Следовательно,

(см.

В действительности, можно полностью устранить искусственное введение куба и использовать плоские волны, заданные во всем пространстве. Тогда волновой вектор может принимать без ограничений все возможные значения, и плоские волны зависят от 3 непрерывных индексов кг, а нормировка с символами Кронекера заменится на нормировку с -функциями.

В качестве базисных выбирают функции

и с каждой из них связывают эрмитово-сопряженные операторы Все формулы получаются из предыдущих заменой на на символа на . Так, основные свойства базисных функций (см. ур. (35), (36) (37)) примут вид

Коммутационные соотношения операторов равны (см. ур. (38))

Поля запишутся в виде интегралов (см. ур. (39) и (40))

а гамильтониан (см. ур. (41))

Остается установить связь между импульсом поля и разложением на плоские волны.

По определению векторный оператор связан с бесконечно малыми преобразованиями по формуле (XV. 41). При конечном преобразовании (обозначения § XV. 9) оператор дающий амплитуду поля в точке переходит в оператор , дающий амплитуду поля в точке, которая получается из сдвигом. Точно так же преобразуется в .

Используя этот закон преобразования наблюдаемых в случае когда а равно бесконечно малому вектору получаем

Поскольку эти коммутационные соотношения должны быть вы. полнены для любого они определяют с точностью до по» стоянного (векторного) слагаемого. Так, компонента по оси х является оператором, который с точностью до константы определяется коммутационными соотношениями

Предыдущие соотношения выполнены, если

Интегрируя по частям, получаем эквивалентное выражение

Подставляя выражение (53) в левую часть уравнения (51) и используя коммутационные соотношения (34), находим

Аналогичным образом можно показать, что соотношение (52) выполнено, если воспользоваться для выражением (54). Такие же формулы справедливы для Следовательно, мы получили три компоненты с точностью до постоянных слагаемых, которые определяются из требования, чтобы был векторным оператором. Таким образом, импульс поля можно записать в виде двух эквивалентных выражений

[N. В. В классической теории для импульса получаются выражения, которые формально тождественны приведенным.]

Выразим теперь в терминах операторов Для этого подставим в правую часть равенства (55) вместо Ф и П их разложения (46) и (47) соответственно и воспользуемся соотношениями ортогональности для плоских волн. Получим

или, используя коммутационные соотношения для операторов а и

Суммирование в полученных формулах происходит по всем возможным значениям Выражение в скобках под знаком последней суммы не меняется при замене на Следовательно, два слагаемых, отвечающие отличаются только знаком и эта сумма равна нулю. Таким образом,

Отсюда легко получить коммутационные соотношения с операторами а и

Формулы (57), (58) и (59) просто интерпретировать, если считать, что частица в состоянии и имеет импульс Поскольку определяет число частиц в состоянии формула (57) означает просто, что полный импульс поля равен сумме импульсов частиц, образующих поле. Точно так же, формулы (58) и (59) согласуются с интерпретацией операторов как операторов уничтожения и рождения частицы с импульсом к. Действительно, если — собственный вектор оператора полного импульса, отвечающий собственному значению то вектор (в случае, если этот вектор отличен от нуля, т. е. состояние поля содержит хоть одну частицу с импульсом k) удовлетворяет уравнению

Точно так же, используя формулу (59), получаем

Отметим, что связанные с полем частицы с импульсом имеют энергию . Следовательно, масса этих частиц равна