§ 7. Группы преобразований

Из различных имеющихся в нашем распоряжении преобразований мы можем образовать некоторое число групп преобразований, где термин группа используется в его математическом Понимании (ср. § Г. 2).

Произведение преобразований является преобразованием, которое состоит в применении к результату действия Преобразующий оператор с точностью до фазового множителя равен произведению Это произведение ассоциативно, но не обязательно должно быть коммутативным.

Тождественное преобразование — преобразование, при котором каждая наблюдаемая переходит в себя. Соответствующий этому преобразованию оператор является оператором умножения на произвольный фазовый множитель.

Обратное преобразование определяется соотношением — 3. Поскольку определяет взаимно однозначное соответствие, то обратное преобразование всегда существует.

Итак, каждое из преобразований, описанных в § 6, можно рассматривать как элемент некоторой группы

Среди всевозможных групп группа пространственных преобразований (трансляций, вращений и отражений) и ее разнообразные подгруппы являются группами, физическое значение которых очевидно. Среди подгрупп этой группы следует упомянуть группу трансляций, группу вращений (вокруг точки), группу смещений (трансляций и вращений), группы отражений относительно точки и относительно плоскости, группу вращений и отражений (вращения вокруг точки и отражения относительно той же точки), группы симметрии кристаллов.

В предыдущей главе мы встретились с группами другого типа — группами перестановок подобных частиц. Мы также рассматривали перестановки, которые затрагивали только часть переменных, описывающих частицы. В частности, там была введена группа преобразований в зарядовом пространстве, с которой в случае системы нуклонов связана группа изотопических вращений, или группа вращений в зарядовом пространстве.

Преобразования, явно затрагивающие время, удобно рассмотреть отдельно. Среди них, в первую очередь, следует отметить преобразования Галилея, которые мы упоминаем здесь для полноты (задача 7). Они являются нерелятивистскими аналогами чисто лорендевских преобразований. Последние вместе с пространственными вращениями образуют собственную группу Лоренца, которая будет обсуждена в пятой части. Имеется также группа временных сдвигов и, наконец, операция обращения времени. Временные трансляции и обращение времени будут изучаться в разделе IV. В оставшейся части настоящего раздела мы будем рассматривать только преобразования, не затрагивающие время явно.