§ 16. «Симметризаторы» Юнга. Построение неприводимых представлений

«Симметризаторы» строк и столбцов . Определим операторы — симметризатор строк — антисимметризатор строк следующим образом:

суммирование происходит по всем перестановкам которые оставляют инвариантными строки т. е. в любой цикл которых входят элементы из одной строки Это множество перестановок образует подгруппу группы . Если обозначить группу перестановок объектов, стоящих в строке таблицы то есть произведение следующих подгрупп группы

Операторы равны соответственно произведению симметризаторов и антисимметризаторов этих подгрупп.

Аналогичным образом определяются симметризатор и антисимметризатор столбцов 0 (т. е. строк ). Приведем соответствующие формулы

где суммирование происходит по всем перестановкам которые оставляют инвариантными столбцы таблицы 0

Основные свойства.

а) Введенные операторы и равны произведениям симметризаторов или антисимметризаторов, следовательно,

б) Если произвольная линейная комбинация элементов (элемент групповой алгебры) и если

тогда

В частности, при выполнении любого из условий (68) справедливы равенства

«Неприводимые симметризаторы» и

Будем называть «неприводимым симметрнзатором», — «неприводимым антисимметрнзатором» таблицы . Аналогично определяются неприводимые симметризатор и антисимметризатор 0:

Пусть со — определенная выше линейная комбинация, тогда можно показать, что

Из соотношений (69) и (72) легко вывести соотношения

Основная теорема.

(i) В пространстве регулярного представления группы векторы ( — произвольный элемент групповой алгебры ) натягивают неприводимое инвариантное подпространство и, следовательно, порождают некоторое неприводимое представление Р группы .

(ii) Векторы инатягивают то же инвариантное подпространство

(iii) Если то неприводимые представления и Р неэквивалентны.

Поскольку число неприводимых представлений равно числу классов этой группы и, следовательно, числу разбиений то теорема позволяет построить все представления. Как следствие, каждое неприводимое представление группы можно характеризовать определенной диаграммой Юнга.

Симметризаторы ассоциированных таблиц и ассоциированные представлеиня. Сопоставим каждому элементу

групповой алгебры элемент . Это соответствие — линейное, взаимно однозначное и обладает следующими свойствами:

б) если то (сохраняет произведение).

Отметим, что таким образом возникает взаимно однозначное соответствие между «симметризаторами» ассоциированных таблиц 0 и 0:

откуда

Пусть — множество базисных векторов, которые согласна основной теореме определяют представление . В силу (74) им соответствуют векторы которые определяют представление Ясно, что при таком выборе базисов матрицы Р и отвечающие в каждом из представлений данной перестановке связаны соотношением

«Снмметризаторы таблиц» Точно так же, как мы действовали, используя таблицы мы можем определить перестановки и снмметризаторы используя таблицы Отметим, что

откуда

Свойства «симметризаторов», связанных с можно вывести, используя свойства «симметризаторов», связанных с , и соотношения (76).