§ 14. Система нуклонов и изотопический спин

Рассмотрим систему из Z протонов и N нейтронов. Эта система описывается гамильтонианом Н. Нейтроны и протоны являются подобными частицами, и для того чтобы различать их, мы припишем протонам номера от 1 до а нейтронам номера от до Обозначим оператор антисимметризации первых Z частиц, а — оператор антисимметризации N последних частиц. Мы будем придерживаться обозначений, введенных в §§ 2 - 4. Пусть

— волновая функция, описывающая возможное состояние системы в симметрическом представлении Функция

удовлетворяет условиям антисимметрии

Для описания системы Z протонов и N нейтронов имеется и другой формализм, полностью эквивалентный предыдущему. В новом формализме нейтрон и протон рассматриваются как различные состояния одной и той же частицы — нуклона. Рассматриваемая система описывается тогда как система нуклонов, из которых Z находятся в протонном состоянии, в нейтронном. В этом случае нуклонов являются тождественными фермионами, и состояния системы антисимметричны относительно перестановки этих тождественных фермионов. Цель настоящего параграфа состоит в изложении этого формализма и в доказательстве его эквивалентности обычному.

Для того чтобы отличать состояние протона от состояния нейтрона, каждому нуклону следует приписать дополнительную динамическую переменную — заряд, принимающий два значения. Мы будем обозначать соответствующие состояния где со описывает протонное состояние, нейтронное. Зарядовое пространство нуклона, так же как и спиновое, двумерно. Следовательно, мы можем определить в этом пространстве операторы, аналогичные операторам, введенным в случае спинового пространства, и имеющие те же математические свойства. Рассмотрим, в частности, три матрицы Паули. В представлении, в котором являются базисными векторами, эти матрицы описывают в зарядовом пространстве векторный оператор аналогичный вектору Вектор

является аналогом спина s и называется изотопическим спином нуклона. Мы видим, что

Проекторы на протонное и нейтронное состояния определяются формулами

а оператор заряда нуклона равен

Произведение одночастичных зарядовых пространств является зарядовым пространством системы нуклонов.

Полный заряд системы представляется оператором

где — третья компонента полного изотопического спина

Ортонормированный базис в можно получить, рассмотрев всевозможные произведения из или -векторов. В частности, базисный вектор

описывает состояние, в котором первые Z частиц — протоны, а последние N — нейтроны. В дальнейшем будем рассматривать только состояния с зарядом т. е. с

Можно построить базисных векторов, соответствующих этому собственному значению. Типичный базисный вектор имеет вид

и описывает состояние, в котором Z частиц являются протонами, а остальные — нейтронами.

Кет-векторы системы нуклонов являются векторами про странства, которое можно представить в виде тензорного произведения пространства и пространства остальных динамических переменных. При перестановке нуклонов осуществляется одна и та же перестановка как зарядовых переменных, так и остальных переменных. Если описывает заданную перестановку зарядов, а ту же перестановку остальных переменных, то полная перестановка описывается оператором

Оператором антисимметризации системы нуклонов будет оператор

Состояния системы с полным зарядом описываются векторами Ф пространства удовлетворяющими условию

антисимметрии

и уравнению

Покажем теперь, что имеется взаимно однозначное соответствие между векторами Ф, для которых выполняются соотношения (76) и (77), и векторами из удовлетворяющими условиям (70), а именно

и что это соответствие сохраняет скалярное произведение.

Рассмотрим вектор удовлетворяющий условиям (70). Соответствующий ему вектор полученный по формуле (78), очевидно, удовлетворяет (76), а также и (77), поскольку коммутирует с А и

Покажем теперь, что Частичное скалярное произведение в (79) определяет вектор Используя (75) и (78), имеем

Далее, перестановок можно разбить на две группы. В первую группу входят те перестановки которые меняют порядок первых Z частиц друг с другом и (или) переставляют последние N частиц между собой. Все перестановок не изменяют вектор и домножают вектор на

Перестановки из второй группы переводят вектор в другой вектор и

Следовательно, сумма в правой части равенства (80) имеет ненулевых слагаемых, каждое из которых равно что и дает доказываемое равенство (79).

Легко видеть, что соответствие (78) сохраняет скалярное произведение, ибо если соответствуют и

поскольку

удовлетворяет уравнениям (76) и (78), то имеем

Осталось показать, что соответствие взаимно однозначное. Пусть — вектор, удовлетворяющий условиям (76) и (77), а — вектор, построенный по формуле (79). В силу является линейной комбинацией векторов с векторами из в качестве коэффициентов

Вектор является коэффициентом при в сумме, стоящей справа. Перестановка типа действуя на Ф, дает

а также

Действие на один из векторов переводит его в другой вектор , в частности, оставляет инвариантным. Следовательно, коэффициент при в разложении равен коэффициенту при в правой части равенства (81). Приравняв его коэффициенту при в соотношении (82), находим

Это показывает, что вектор соответствующий действительно обладает свойством антисимметрии (70).

Каждое состояние системы Z протонов и N нейтронов, описываемое вектором в обычном формализме, в новом формализме описывается вектором Поскольку между этими векторами имеется сохраняющее скалярное произведение взаимно однозначное соответствие, то амплитуды вероятности, вычисленные по векторам нового формализма, совпадают с амплитудами, определенными векторами старого формализма. Это гарантирует эквивалентность двух формализмов. Если динамическая переменная представляется в обычном формализме оператором Q, то в новом формализме ей соответствует оператор в пространстве оператор Q симметричен относительно

нуклонов, имеет тот же спектр собственных значений, что и Q, и его собственные состояния можно получить из собственных состояний оператора Q при помощи соотношения (78). Q является симметричным оператором, матричные элементы которого удовлетворяют уравнению

В качестве примера построим оператор Я, предполагая, что между нуклонами действуют только двухчастичные силы. Гамильтониан имеет вид

где К — полная кинетическая энергия. Если нетическая энергия протона и нейтрона соответственно, то

где

Полная потенциальная энергия V состоит из членов, соответствующих взаимодействию двух частиц. Имеется членов взаимодействия протон — протон

где — потенциал взаимодействия между протонами с номерами и . Аналогично имеется членов взаимодействия протон — нейтрон

и членов взаимодействия нейтрон — нейтрон

Следовательно, полная потенциальная энергия есть

Оператор К, соответствующий К, имеет вид

Он симметричен и коммутирует с А. Для того чтобы показать, что К удовлетворяет равенству (83), учтем определение векторов и проекторов

откуда

Поскольку К не действует на зарядовые переменные, частичное скалярное произведение равно результату действия К на Используя (79), находим

Точно так же оператор, соответствующий V, имеет вид

где

Тем же методом, что и в случае можно проверить, что обладает требуемыми свойствами.

Приведенная для случая протонов и нейтронов теория применима и к системам, содержащим более двух типов фермионов. Рассмотрим систему, содержащую типов подобных, но различимых фермионов: фермионов типа фермионов типа фермионов типа Вместо того чтобы рассматривать фермионы различных типов как разные частицы, эти типов фермионов можно рассматривать как различных состояний, одного и того же фермиона и рассматривать систему, состоящую из фермионов одного типа, из которых находится в состоянии в состоянии — в состоянии Эквивалентность получаемого таким образом «изотопического» формализма стандартному можно показать, используя те же методы, что и в случае системы нуклонов. Все эти замечания применимы и для бозонных систем, если всюду операцию антисимметризации заменить на операцию симметризации (задача 9).