§ 11. Представления
Регулярное представление 
Регулярным называют 
-мерное представление, которое получается, если за элементы базиса в пространстве представления взять N элементов группы. Векторами пространства регулярного представления служат элементы групповой алгебры.
Все элементы каждой строки и каждого столбца 
матрицы, отвечающей элементу 
в представлении 
равны нулю, кроме одного, равного 1.
Почти все основные свойства представлений группы являются простыми следствиями леммы о перенумерации, леммы Шура и свойств регулярного представления.
Общие свойства представлений. Всякое представление конечной группы эквивалентно унитарному представлению этой группы.
Если два представления имеют один и тот же набор характеров, то они эквивалентны (обратное очевидно).
Если 
— набор линейных операторов, образующих конечную группу 
и если 
— заданный вектор в пространстве кет-векторов, то представление 
по которому 
преобразуется под действием элементов группы, является компонентой регулярного представления 
(если 
имеет размерность N, то 
).
В заданном представлении 
суммы 
описываются матрицами 
которые можно одновременно привести к диагональному виду и которые коммутируют с каждой матрицей, представляющей элемент группы:
Неприводимые представления.
а) Число неэквивалентных неприводимых представлений равно числу классов 
б) Размерность. Если 
— размерность 
неприводимой компоненты 
то
в) Соотношения ортогональности. Если унитарные неприводимые представления 
либо не эквивалентны, лнбо равны, то
Из (29) следует соотношение ортогональности для характеров
Каждое представление вполне определяется стандартным выбором его базисных векторов. 
величин
являются элементами унитарной 
матрицы. Аналогично 
величии 
являются элементами унитарной 
матрицы. Из двух соотношений унитарности (29) и (30) получаем соответственно
г) Специальные случаи. Если 
— единичное представление 
из (29) и (30) следует
Если 
— единичный элемент 
то (31) и (32) дают
д) Соотношения между характерами и суммами элементов класса. Матрицы 
представляющие 
кратны единичной матрице (лемма Шура)
Из (25) и (35) следует равенство
из которого в силу соотношения ортогональности (32) имеем
