§ 5. Антилинейные операторы и представления

Оператор комплексного сопряжения, связанный с представлением . По определению, является оператором, переводящим волновые функции представления в комплексно сопряженные функции. Действие оператора зависит от рассматриваемого представления и в особенности от выбора фаз базисных векторов.

Пусть — базисные векторы представления Тогда — антилинейный оператор, оставляющий эти векторы инвариантными,

Следовательно, полностью определен. Очевидно, что выполнены соотношения

так что — антиунитарен. Ясно, что для К выполняется упомянутое выше свойство, а именно: при антиунитарном преобразовании матрицы представления переходят в комплексно-сопряженные, таким образом, мы имеем

Таким образом, в представлении действие оператора состоит исключительно в переходе к комплексно сопряженным величинам. Действие любого другого антилинейного оператора можно легко определить, заметив, что А является произведением и линейного оператора, т. е. А всегда можно представить в виде

где - линейные операторы, переходящие друг в друга при преобразовании

(если А антиунитарен, то унитарны).

Изменение представления. Рассмотрим другое представление Обозначим оператор комплексного сопряжения, связанный с этим представлением, в остальном будем следовать обозначениям § VII. 21. В частности, матрицей преобразования векторов и линейных операторов служит унитарная матрица

Если эта матрица вещественна, то векторы нового базиса инвариантны относительно действия оператора иными словами,

В этом случае линейные операторы соответствующие в представлении заданному антилинейному оператору, те же, что и операторы, соответствующие А в представлении

Если это не так, то оператор отличен от Полезно найти способ построения матрицы описывающей оператор в представлении по матрице оператора в представлении Имеем

т. е.

Аналогично