§ 17. Основные свойства неприводимых представлений группы

Большинство свойств неприводимых представлений следуют свойств «симметризаторов», которые были приведены в предыдущем параграфе.

Каждое неприводимое представление группы характеризуется определенной диаграммой Юнга и может быть построено с помощью неприводимого симметризатора(или ) Неприводимые представления являются самосопряженными

Представления размерности 1. Существует только два представления размерности 1:

(i) тождественное (или симметрическое) представление S;

(ii) антисимметрическое представление А, в котором каждой перестановке отвечает

Эти представления порождаются s и а соответственно Диаграмма Юнга для S имеет одну строку и отвечает разбиению , а для представления А — один столбец и отвечает разбиению

Ассоциированные неприводимые представления. Два неприводимых представления и называются ассоциированными, если их диаграммы Юнга являются ассоциированными друг к другу. Из уравнения (75) следует соотношение

Компоненты размерности 1 тензорного произведения Тензорное произведение двух представлений имеет одну (и только одну) компоненту размерности 1 в том и только в том случае, если выполнено одно из следующих условий:

(i) , то компонентой будет S;

(ii) , то компонентой будет А.

Неприводимые представления содержащиеся в Любое неприводимое представление группы есть представление (возможно приводимое) ее подгруппы

Обозначим символом Р неприводимое представление отвечающее разбиению целого числа Можно показать, что разложение Р на представления, неприводимые по отношению к группе Дается формулой

где суммирование происходит по всем разбиениям числа отвечающим диаграммам Юнга, которые получаются из диаграммы Юнга разбиения числа отбрасыванием одной из возможных клеток.

Пример:

Используя формулу (79) можно связать некоторые характеры с характерами . В частности, на основании этой формулы можно вычислить размерность представлений зная размерность неприводимых представлений

Построение неприводимых инвариантных подпространств представления Р. Различные «симметризаторы» в представлении Р задаются линейными эрмитовыми операторами, которые мы будем обозначать соответствующими прописными буквами.

Метод построения неприводимых компонент представления Р следует из основной теоремы § 16. Пусть — произвольный вектор пространства представления Р; тогда вектор в случае, если он отличен от нуля, преобразуется по представлению и в соответствующем пространстве представления содержится ненулевой вектор . Множество векторов получающихся действием оператора на векторы базиса пространства , натягивают подпространство , размерность которого равна — числу компонент содержащихся в Р. Пусть — один из векторов ортонормированного базиса в пространство образованное действием операторов группы на вектор есть пространство представления. Поступая таким образом со всеми базисными векторами , получим ортогональных друг другу пространств представления

Оператор Q в инвариантный относительно переводит векторы ждого из подпространств в векторы того же подпространства. Таким образом, задача диагонализации Q в пространстве сводится к задаче диагонализации этого оператора в каждом из подпространств 9

Свойства симметрии векторов представления . В общем случае кет-векторы не обладают определенными свойствами симметрии или антисимметрии. Будем приписывать вектору симметрию в том случае, если он принадлежит подпространству проектора Такой вектор симметричен относительно перестановки элементов из одной строки в 0. Точно так же будем считать вектор А антисимметричным, если он принадлежит подпространству проектора А

Аналогичным образом, используя таблицы Юнга определяют симметрии типа и антисимметрии

Из двух векторов с определенной симметрией более симметричным, по определению, считается тот, который соответствует большему из разбиений Из двух векторов с определенной антисимметрией А более антисимметричным считается тот, который соответствует большему из разбиений

На основании равенств (69) и основной теоремы мы можем сделать вывод, что пространство неприводимого представления содержит один и только один S-симметричный вектор (и, следовательно, один и только один

S-симметричный вектор, где — произвольная перестановка) и не содержит векторов с большей симметрией 2). Это пространство содержит один и только один А — антисимметричный вектор и не содержит векторов с большей антисимметрией.

Оператор суммы элементов класса транспозиций К. Каждому разбиению соответствует некоторый класс и оператор суммы элементов класса К. Различные возможные собственные значения этого оператора соответствуют различным неприводимым представлениям Р группы Эти собственные значения являются функциями целых чисел участвующих в разбиении . (N. В. Для двух различных разбиений соответствующие собственные значения некоторого не обязательно различны: из не следует, что )

Рассмотрим оператор суммы элементов класса транспозиций

Оператор коммутирует со всеми перестановками и, следовательно,

Используя это соотношение и уравнения (67), легко показать, что равно разности числа транспозиций типа (симметричных пар) и числа транспозиций типа (антисимметричных пар):