§ 14. Симметрии эффектов Штарка и Зеемана

Эффект Штарка. Рассмотрим атомную систему во внешнем постоянном электрическом поле направленном по оси Это поле инвариантно относительно трансляций, относительно вращений вокруг оси z и относительно отражений в плоскостях, параллельных оси Имеющаяся в этом случае группа инвариантности является произведением группы трансляций на группу отражений в плоскостях, содержащих ось

Будем предполагать, что движение центра масс уже отделено и рассмотрим только возможные состояния гамильтониана относительно переменных Я, который инвариантен относительно отражений в плоскостях, содержащих Приводимые ниже рассмотрения базируются исключительно на этом свойстве инвариантности и не содержат ни детального описания, ни силы взаимодействия системы с электрическим полем.

Пусть — отражение в произвольно выбранной плоскости, содержащей — соответствующий этому преобразованию оператор. Фазу выберем так, чтобы выполнялось равенство Поскольку рассматриваемая группа порождается отражением и инфинитезимальными вращениями вокруг оси то оператор преобразования является функцией от . Итак, мы имеем два независимых интеграла движения,

Поскольку они не коммутируют

то некоторые из собственных значений Я вырождены.

Заметим, далее, что коммутирует как с так и с , следовательно, со всеми операторами группы. Оператор является наблюдаемой типа для данной группы (см. определение в § 11). В качестве наблюдаемой типа М можно выбрать либо либо . В первом случае стационарные состояния будут классифицироваться по собственным значениям оператора во втором — в соответствии с набором

Предположим, что система содержит четное число полуцелых спинов. Тогда возможными значениями будут все целые числа. Обозначим одно из них . Если стационарное состояние, соответствующее этому значению, то является стационарным состоянием с той же энергией, соответствующим собственному значению оператора Если то оба эти состояния ортогональны. Итак, если состояния классифицируются собственными значениями оператора то два противоположных собственных значения порождают один и тот же спектр энергий, причем каждый уровень спектра имеет одну и ту же кратность вырождения. Иными словами, уровни энергии зависят только от и все уровни, соответствующие имеют четную кратность вырождения.

Этот же результат можно получить и при классификации состояний по собственным значениям пары Для обозначения этих собственных значений будем использовать символы где — неотрицательное целое число, квадрат которого равен собственному значению оператора а верхний индекс положителен или отрицателен соответственно тому, является ли или —1 собственным значением оператора Для примера рассмотрим состояние

Если то вектор не равен нулю и из (63) имеем

Итак, действуя на состояние дает состояние Если первое из состояний стационарно, то стационарно и второе, соответствующее тому же уровню энергии: энергетические уровни зависят только от положительного целого числа и все имеют вырождение четного порядка. Случай является исключением:

спектры энергии в состояниях могут быть различны.

Эффект Зеемана. Рассмотрим теперь атомную систему в постоянном магнитном поле направленном по оси При отражениях в плоскости, параллельной этой оси, меняет знак. С другой стороны, инвариантно относительно отражения в начале координат. Группой инвариантности внешнего поля является группа, порождаемая трансляциями, вращениями вокруг оси и отражениями Как и в случае эффекта Штарка, будем рассматривать только симметрии гамильтониана Я относительных переменных. Этот оператор Я инвариантен относительно вращений вокруг оси и отражений в начале координат. Пусть оператор четности, фаза которого фиксирована таким образом, что Все преобразования группы описываются как функции наблюдаемых а эти две наблюдаемые коммутируют

Следовательно, инвариантность Я при преобразованиях группы не приводит к систематическому вырождению

Операторы можно одновременно диагонализовать, и каждый общий собственный вектор этих трех наблюдаемых является стационарным состоянием, инвариантным относительно преобразований группы. Этот результат основывается исключительно на свойствах симметрии Н и не зависит ни от деталей, ни от силы взаимодействия системы с магнитным полем.