§ 6. Бозоны и статистика Бозе—Эйнштейна

Рассмотрим систему N бозонов. Состояния системы образуют подпространство пространства Из векторов -представления можно построить базис в пространстве

В каждом подпространстве мы можем построить один и только один нормированный симметричный вектор (определенный с точностью до фазового множителя)

где — базисный вектор -представления, в котором первые частиц находятся в состоянии следующие частиц — в состоянии следующие частиц в состоянии — определенный выше оператор симметризации, а в квадратных скобках стоит нормирующий множитель Доказать это можно следующим образом.

Перестановка двух частиц, находящихся в одном и том же состоянии, не изменяет вектор тогда как перестановка двух частиц, находящихся в разных состояниях, порождает другой базисный вектор -представления. В общем случае, рассматриваемый вектор инвариантен относительно любой из перестановок, не изменяющих распределение частиц по состояниям любая из остальных перестановок переводит его в другой базисный вектор -представления. Применяя каждую из перестановок к мы получим базисных векторов пространства каждый из которых будет получен раз. Вектор (36) равен сумме этих базисных векторов, умноженной на следовательно, симметричен и нормирован на единицу.

Итак, каждой последовательности неотрицательных целых чисел такой, что

соответствует одно и только одно симметричное состояние системы, которое описывается вектором (36). Множество таких векторов образует ортонормированный базис в

Покажем теперь, что бозонный газ подчиняется статистике Бозе — Эйнштейна. Бозонным газом называют систему, образованную очень большим числом N бозонов, взаимодействие между которыми достаточно слабое, так что в первом приближении им можно пренебречь. Гамильтониан Н системы можно записать в виде суммы N одночастичных гамильтонианов

Согласно теории Больцмана равновесное термодинамическое состояние реализуется, когда система находится в наиболее вероятном «макроскопическом состоянии». Данное «макроскопическое состояние» в действительности является набором квантовых состояний (или «микроскопических состояний»), близких друг другу, так что на макроскопическом уровне их невозможно различить. Согласно эргодической гипотезе микроскопические состояния с одинаковой энергией равновероятны. Вероятность заданного макроскопического состояния пропорциональна числу образующих его различных микроскопических состояний. Определение термодинамического равновесия системы существенно зависит от этого числа. Будем предполагать, что содержится в множестве динамических переменных, определяющих -представление. Каждое распределение

N частиц по различным возможным одночастичным состояниям

определяет одно и только одно микроскопическое состояние системы (описываемое вектором (36)). В этом как раз и состоит основное предположение статистики Бозе — Эйнштейна, в которой частицы считаются неразличимыми. Следовательно, в статистике Бозе — Эйнштейна состояния системы, отличающиеся друг от друга только различными расположениями тождественных частиц, заселяющих различные одночастичные состояния, рассматриваются как одно и то же микроскопическое состояние. С другой стороны, в статистике Максвелла — Больцмана, каждая частица предполагается различимой на микроскопическом уровне и состояний системы, соответствующих одному и тому же распределению рассматриваются как различные микроскопические состояния.

Важное замечание. Оператор плотности, описывающий состояние системы в термодинамическом равновесии, имеет вид

Другие формы записи оператора полученные из этого выражения в § VIII. 25, сохраняют справедливость. Главное отличие, вводимое в теорию постулатом симметризации, заключается в том, что ставится оператором в а не во всем пространстве и различные вычисления квантовой статистики, в частности нахождение следов, следует проводить именно в этом суженном пространстве. Итак, в случае, когда Н имеет вид (37), оператор плотности рассматриваемый как оператор в пространстве является тензорным произведением операторов, определенных на одночастичных пространствах

Однако эта факторизация теряет смысл, если является оператором в ибо каждый из N множителей, взятый в отдельности, не является оператором в