§ 12. Преобразования собственной группы

Найдем явные выражения для матриц А, которые удовле творяют условиям (89). В этом параграфе мы будем рассматривать только преобразования собственной группы.

Вначале рассмотрим инфинитезимальные преобразования. Каждому из шести инфинитезимальных «вращений» — соответствует матрица которая отличается от единичной

матрицы на бесконечно малую величину и может быть записана в виде

где — конечная матрица, подлежащая определению. Имеем

Из условия (89 а) получаем

или, используя (17),

Матрица удовлетворяет тем же коммутационным соотношениям с что и матрица Их разность коммутирует с матрицами , следовательно, пропорциональна единичной матрице. Легко показать, что условия (89 б) и (89 в) будут выполнены тогда и только тогда, когда коэффициент пропорциональности равен нулю. Удобно ввести обозначение

Окончательно имеем

Обозначения будут также использоваться для операторов, которые задаются матрицами соответственно. В дальнейшем мы увидим, что есть антисимметричный тензорный оператор (6 компонент), который отвечает внутреннему моменту импульса или спину частицы. Точнее говоря, спин — это пространственная часть (3 компоненты) оператора , который связан с операторами соотношениями

Любое конечное преобразование собственной группы Лоренца можно представить в виде произведения последовательных инфинитезимальных преобразований. Следовательно, мы можем построить матрицы , отвечающие конечному изменению системы координат, беря произведения определенных выше

матриц, отвечающих инфинитезимальным преобразованиям. В этом случае условия (896) и (89 в) выполняются автоматически и мы получаем одну из двух возможных матриц А.

В частности, «вращение» на угол в плоскости есть произведение матриц инфинитезимальных вращений в этой плоскости, и матрица задающая преобразование, имеет вид

Таким образом (см. сноску на стр. 367), если задано чисто лоренцево преобразование со скоростью направленной вдоль оси х, то, принимая во внимание соотношения (93а) и свойства находим

В более общем случае, если — матрица, отвечающая чисто лоренцеву (специальному) преобразованию со скоростью то имеем

где

Введем обозначение

Предыдущее выражение после элементарных вычислений можно привести к виду

Рассмотрим теперь вращения в обычном смысле этого слова. Для вращений вокруг оси выражение (94) дает

В более общем случае, если — матрица, отвечающая вращению на угол вокруг оси, направленной вдоль единичного вектора и, то имеем

где

Теперь мы можем обсудить вопрос о спине частицы, которая описывается уравнением Дирака. Спин определяется трансформационными

свойствами внутренних переменных по отношению к пространственным вращениям. Формула (99) дает общее выражение для матриц преобразования внутренних переменных при вращении. Это выражение отличается от выражения (XIII. 84) только знаком перед и одно переходит в другое при замене на Следовательно, эти матрицы обратны одна к другой. Различие вызвано тем, что в главе XIII мы рассматривали изменение переменных и состояний при вращениях, оставляя оси фиксированными, а здесь мы придерживаемся противоположной точки зрения. Итак, мы видим, что волновая функция, удовлетворяющая уравнению Дирака, преобразуется при вращениях как волновая функция частицы со спином 1/2.

Отметим, в частности, что повороту на угол вокруг любой оси не соответствует единичная матрица. Действительно, имеем

такое свойство матрицы преобразования характеризует полуцелый спин. Ясно, что произвол в знаке матриц Л нельзя устранить без того, чтобы не нарушить их групповой структуры.

В дальнейшем будем называть волновые функции теории Дирака спинорами.