§ 6. Поправки высших порядков

Поправки второго порядка, которые следуют из уравнения (72), мы получим, переписав уравнения (9) и (11) для случая и использовав выражения (12) и (14) для поправок первого порядка. Тогда имеем

Выражения для поправок высших порядков получаются таким же образом. Формулы слишком длинны для того, чтобы выписывать их здесь, но они упрощаются в важном частном

случае, когда все поправки низких порядков к невозмущенной энергии исчезают. Тогда, если

то рекуррентные формулы (9) и (11) дают

и условие (28) можно записать в виде

В тех случаях, когда это условие не выполняется, редко приходится продолжать вычисления до порядка Теория возмущений удобна, только если сходимость достаточно быстрая, так что можно ограничиться вычислением поправок низших порядков. Сложность вычислений быстро растет с увеличением порядка, и вычисления становятся практически невыполнимыми.

Однако общий характер поведения поправок высших порядков представляет интерес при исследовании сходимости разложений по теории возмущений. Так, переписав (26) в терминах матричных элементов V в -представлении, для получим выражение

Поправки зависят от отношений матричных элементов к разностям энергии Более общим образом можно сказать, что сходимость ряда теории возмущений тем лучше, чем меньше отношения матричных элементов между двумя собственными состояниями с энергиями к разностям между этими энергиями и невозмущенной энергией

Можно получить верхнюю оценку для оценивая по абсолютной величине каждое слагаемое в правой части равенства (31). Заменяя каждый знаменатель на — расстояние от до ближайшего уровня, получим

или

Используя определение имеем

где среднее квадратичное отклонение потенциала в состоянии . Таким образом,