Раздел II. ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 9. Столкновение двух тождественных бесспиновых частиц

В этом параграфе мы подведем итоги обсуждению задачи о столкновении, рассмотренной в § 1.

Пусть -динамические переменные центра масс и относительного движения двух частиц

Гамильтониан имеет вид

а динамическое состояние системы в любой заданный момент времени описывается волновой функцией , зависящей от

При перестановке частиц не меняется, а переходит в . Поскольку волновая функция обязана удовлетворять постулату

симметризации, то

где верхний знак берется в случае, когда обе частицы — бозоны, а нижний — фермионы.

Сперва рассмотрим эту задачу, предполагая, что частицы различимы. Ее решение приведено в разделе I главы X. Напомним кратко решение этой задачи, сохраняя обозначения . До столкновения состояние системы, образованной частицей мишени и налетающей частицей, характеризуется относительной скоростью и прицельным параметром Запишем волновую функцию в виде произведения где — два свободных нормированных волновых пакета. В системе центра масс групповая скорость волны равна нулю, а волна распространяется со скоростью V. В приближениях, используемых при вычислении поперечного сечения, расплыванием пакета можно пренебречь, так что его форма фиксирована и может быть определена соотношением (ур. (13))

После столкновения волновая функция удовлетворяющая этим начальным условиям, имеет вид

где — расплывающийся волновой пакет

Поскольку рассмотрение ведется в системе центра масс, волновой пакет остается сконцентрированным в начале координат

и сечение рассеяния первой частицы в направлении равно сечению рассеяния в относительной системе для того же направления, т. е. (§ X. 6)

Сечение рассеяния второй частицы в направлении Q равно сечению рассеяния в относительной системе в противоположном направлении, т. е.

В случае, когда частицы тождественны, в приведенное рассмотрение необходимо ввести две важные модификации:

(а) детектор уже не может различить частицы 1 и 2, следовательно, сечение должно быть переопределено;

(б) функция должна быть соответствующим образом симметризована.

Модификация (а) характерна не только для квантово-механического рассмотрения. Определим как число частиц (1 и 2), испущенных в телесном угле за единицу времени в расчете на единичный падающий поток, т. е. (ср. ур. (5))

Отметим, что в этом случае

если мы сохраняем обычное определение полного сечения рассеяния как числа частиц, отклоненных от падающего потока за единицу времени в расчете на единичный падающий поток.

С другой стороны, модификация (б) является специфическим квантовым эффектом. Соответствующим образом симметризованный волновой пакет, воспроизводящий те же начальные условия, что и ), определяется, как мы сейчас покажем, выражением

До столкновения, т. е. при эта функция имеет вид где (ур. (47))

Таким образом, является суммой двух волн. Первая описывает начальное состояние в системе центра масс при столкновении

в котором частица 1 налетает на частицу 2 с относительной скоростью и прицельным параметром тогда как вторая волна определяет состояние, в котором частицы 1 и 2 поменялись местами. Поскольку эти волны не перекрываются (так как ), а каждая из них имеет норму 1/2, то является нормированной волновой функцией, описывающей, подобно две частицы, налетающие друг на друга с относительной скоростью и с прицельным параметром

После столкновения 4V подобно является суммой двух членов (ср. ур. (48)). Первый член описывает проходящую волну и не дает вклада в сечение, второй член описывает рассеянную волну и получается из применением к операции симметризации того же типа, что и при переходе от

Возвращаясь к асимптотическому выражению (49), видим, что переход от и состоит в замене амплитуды рассеяния на сим метризованную амплитуду

Используя выражение для рассеянных волновых пакетов, получаем сечение рассеяния тем же способом, что и в случае различимых частиц

В соответствии с определением (52)

Напомним, что амплитуда рассеяния является коэффициентом при расходящейся волне в стационарном решении уравнения Шредингера

имеющим асимптотический вид

Симметризованная амплитуда рассеяния получается умножением на либо четной части амплитуды либо

ее нечетной части, в зависимости от того, являются ли рассма триваемые частицы бозонами или фермионами. Если V - центральный потенциал, то четная часть является суммой вкладов от парциальных волн четного порядка, а нечетная часть — суммой вкладов от парциальных волн нечетного порядка. При энергиях, достаточно малых для того, чтобы основной вклад давала бы s-волна, два (бесспиновых) фермиона практически не рассеиваются друг на друге, в то время как сечение рассеяния двух бозонов в четыре раза больше чем в случае различимых частиц. (Амщштуда рассеяния умножается на , а сечение равно удвоенному квадрату модуля симметризо ванной амплитуды, что и дает в результате множитель