§ 12. Неприводимые компоненты представления

Общий метод. Для получения коэффициентов разложения представления на неприводимые компоненты

достаточно знать множество его характеров и мнвжество характеров неприводимых представлений группы. Согласно уравнению (9) и соотношениям (30) имеем

(N. В. Справедливо соотношение

Таким образом, равенство является критерием неприводимости представления

Регулярное представление Регулярное представление содержит каждое неприводимое представление группы столько раз, какова размерность этого представления

(Отсюда следует соотношение

Тензорное произведение неприводимых представлений.

Уравнение (9) в рассматриваемом случае имеет вид

а соотношение (39) означает, что

Эти два соотношения следует сравнить с (36) и (37).

Лемма. Представление столько раз содержится в разложении на неприводимые, сколько раз содержится в разложении

В. Если все неприводимые представления самосопряжены, то симметрично по всем трем индексам.)

Одномерные компоненты. Тензорное произведение двух неприводимых представлений содержит одномерную компоненту не более одного раза. Необходимое и достаточное условие наличия одномерного представления в разложении этого произведения состоит в эквивалентности

В частности, пространство представления рассматриваемого произведения содержит не более одного вектора, ннварнантиого относительно преобразований группы. Такой вектор существует в том и только в том случае, если