§ 33. ФВ-преобразование для частицы во внешнем поле

В присутствии внешнего поля гамильтониан Дирака имеет вид

Вообще говоря, не существует «представления», в котором гамильтониан был бы в точности «четным» оператором. Однако применяя последовательно унитарные преобразования, можно получить «представления», в которых «нечетная» часть соответствующего гамильтониана имеет все более высокий порядок по . Для доказательства рассмотрим унитарный оператор

Гамильтониан который определяет зависимость от времени в новом представлении, дается равенством

Используя тот факт, что антикоммутирует с получаем

Члены можно представить в виде рядов по степеням используя следующее операторное тождество,

которое справедливо для любых двух операторов Л и (см. задачу VIII. 4):

Мы приведем только результат вычисления Н в случае», когда не зависит от времени. В первом приближении справедливо равенство Находим

Эти разложения для «четной» и «нечетной» частей оператора Ну определяют с точностью до или — с точностью до или в зависимости, от того какая из этих величин больше. Следовательно, «нечетная» часть гамильтониана меньше «нечетной» части Н на множитель порядка или . В нерелятивистском пределе величины имеют порядок соответственно. Таким образом, имеет порядок

Для оператора повторим ту же операцию, что была сделана для Н, т. е. совершим унитарное преобразование с оператором

и новый гамильтониан обозначим . «Нечетная» часть этого гамильтониана меньше на множитель порядка или . В нерелятивистском пределе имеет порядок порядок следовательно, имеег порядок Если пренебречь членами такого порядка, та гамильтониан будет «четным» оператором, который имеег вид

Аналогично, если пренебречь членами порядка то также является «четным» оператором и имеет вид

После этих преобразований мы можем перейти к двухкомионентной теории, так же как и в случае свободной частицы. точностью до решения с положительной энергией задаются волновыми функциями Ф из пространства больших компонент, которые удовлетворяют уравнению

Здесь — проекция приведенного выше приближеняого выражения для на пространство больших компонент, т. е.

Два первых слагаемых представляют собой гамильтониан теории Паули, следующие два слагаемых — релятивистские поправки порядка к нерелятивистской энергии

Несложные вычисления приводят нас к равенствам

которые позволяют записать в более привычной форме.

Производя последовательно такие унитарные преобразования достаточное число раз, можно построить двухкомпонентную теорию, которая определяет состояния с положительной энергией с точностью до любого заданного порядка по Каждое новое преобразование увеличивает точность на множитель Исследование сходимости получившихся рядов является довольно деликатным вопросом. Весьма вероятно, что в большинстве случаев мы имеем лишь асимптотическое разложение. Это разложение по степеням операторов . А следовательно, скорость сходимости этого ряда зависит от характера изменения потенциала на расстояниях порядка (и за время порядка — отношение комптоновской длины волны к скорости света).