§ 27. Собственные векторы полного момента импульса. Коэффициенты Клебша—Гордана

Каждой паре которая удовлетворяет условиям теоремы сложения, соответствует собственный вектор полного момента импульса. Для устранения произвола нормируем этот вектор на 1 и фиксируем его фазу подходящим уело вием, к обсуждению которого мы вернемся ниже. Векторы

так же как и образуют ортонормированный базис в подпространстве . Переход от одного базиса к другому совершается посредством унитарного преобразования

Коэффициенты этого преобразования обладают очень важным свойством: они не зависят от а, а зависят только от величин . Действительно, в подпространстве векторы образуют базис стандартного представления, в котором компоненты задаются матрицами, не зависящими от а (см. ур. (28)); следовательно, матрицы, определяющие также не зависят от а и компоненты их общих собственных векторов обладают тем же свойством. Тем самым, они имеют чисто геометрическое происхождение и зависят только от рассматриваемого момента импульса и его ориентации, тогда как физическая природа динамических переменных 1 и 2, из которых строятся моменты, не существенна. Эти компоненты называют коэффициентами Клебша — Гордана или коэффициентами векторного сложения. Мы будем обозначать их символом Используя это обозначение, соотношение (107) можно записать так:

Для полного определения коэффициентов К. — Г. остается фиксировать фазы векторов Для относительных фаз векторов, отвечающих данному мы примем то же соглашение, что и в § 6. Тогда эти векторы определены с точностью до фазы, зависящей от Мы устраним этот произвол требованием, чтобы компонента вдоль была вещественной и положительной

Многие свойства коэффициентов К. — Г. следуют непосредственно из их определения.

Согласно теореме сложения для отличия от нуля необходимо, чтобы выполнялись одновременно условия (правила отбора)

Ниже мы покажем, что все коэффициенты К. — Г., относящиеся к данному значению могут быть получены посредством рекуррентных соотношений с вещественными коэффициентами из коэффициента Поскольку последний вещественный,

то и все остальные коэффициенты К. — Г. вещественны.

Более того, поскольку это коэффициенты унитарного преобразования, то они удовлетворяют соотношениям ортогональности

В простейших случаях линейные комбинации (108) можно найти непосредственно. Отметим, что для имеем

Последовательное применение к обеим частям этого уравнения дает все векторы отвечающие Затем можно построить векторы серии используя оператор и начиная с вектора, соответствующего который однозначно определяется условием на фазу (109) и свойством ортогональности к . Таким образом, можно построить все серии собственных векторов.

При сложении двух спинов собственные векторы полного спина можно построить таким же способом из собственных векторов операторов спинов отдельных частиц

При сложении моментов импульса большей величины необ» ходимо прибегнуть к более сложной технике. Можно установить различные рекуррентные соотношения (ур. (В. 18)-(В. 20)). Например, применяя или к обеим частям уравнения (108), получаем (см. ур. (В.19) и (В.18))

Если то левая часть (111) исчезает и видно, что все коэффициенты пропорциональны одному из них, скажем Условие нормировки вектора и соглашение о фазе (109) определяет их полностью. Все другие коэффициенты К. — Г. можно затем получить, последовательно используя рекуррентные соотношения (112). Такой метод вычисления коэффициентов К. — Г. для записи их в компактной форме применялся Рака.

Кроме уже упомянутых свойств, коэффициенты К. — Г. обладают важными свойствами симметрии, которые значительно упрощают табулирование. Вместе с основными свойствами коэффициентов К. — Г. эти свойства симметрии приведены в Дополнении В (раздел I), которое содержит также таблицу простейших коэффициентов.