§ 29. Сложение трех и более моментов импульса. Коэффициенты Рака. «3sj»-символы

Двухнуклонная система, рассмотренная в § 28, представляет собой пример системы, где полный момент импульса является суммой трех индивидуальных моментов (ур. (103)). Мы смогли разобрать этот простой пример без обращения к утонченным методам. Исследуем теперь сложение трех моментов в общем случае.

Предположим, что рассматриваемая система состоит из трех различных систем, 1, 2 и 3 с моментами импульса соответственно. Полный момент импульса тогда равен

Проблема сложения заключается в построении собственных векторов полного момента в подпространстве, натянутом на собственных векторов

отдельных моментов импульса, отвечающих определенным значениям квантовых чисел Квантовое число а, определяемое здесь так же, как и в § 25, в последующем изложении несущественно и будет опускаться.

Существует несколько способов построения векторов с моментом импульса

Можно связать (рис. 4, а), образуя момент а затем связать образуя Таким образом,

получаем собственные векторы

общие для операторов

Можно связать (рис. 4, б), образуя момент а затем связать образуя Таким образом, получаем собственные векторы

общие для операторов

Можно связать , образуя , а затем и , образуя .

Итак, у нас имеется выбор между тремя различными набо рами базисных векторов полного момента.

Рис. 4. Способы сложения трех моментов импульса.

В большинстве задач важно уметь переходить от одного базиса к другому. Преобразование, которое осуществляет этот переход, является унитарным. Например, имеем

Очевидно, коэффициенты этого унитарного преобразования не зависят от а по тем же самым причинам, что и коэффициенты К. — Г. Действуя операторами или на обе части (118), легко видеть, что они не зависят также от М, а зависят только от шести моментов:

Вместо непосредственного использования этих коэффициентов более удобно использовать коэффициенты Рака или

-символы Вигнера, которые пропорциональны им в соответ ствии с определениями

Из определения ясно, что эти коэффициенты являются суммами по индексам четырех коэффициентов К. — Г. Исключая случай наиболее простых аргументов, непосредственное вычисление коэффициентов чрезвычайно затруднительно; оно заключается в вычислении большого числа коэффициентов К. — Г., а затем в вычислении сложного выражения, построенного из этих коэффициентов. Рака удалось получить обозримое и приемлемое для работы выражение для (формула (В.36)). Существуют таблицы коэффициентов для наиболее часто встречающихся аргументов.

-символы отличаются от только знаком. Они интересны в основном благодаря их замечательным свойствам симметрии. Основные свойства коэффициентов и -символов приведены в Дополнении В (раздел II).

Рассмотренный выше способ сложения трех моментов импульса может быть перенесен и на случай сложения большего числа моментов

Складывая два любых момента: мы сводим задачу к сложению момента, заменяя векторы в правой части (119) их суммой Повторяя эту операцию, приходим к сложению моментов и т. д. Таким образом, нам удается сложить угловых моментов, вводя промежуточных момента. Так же строится и система базисных векторов полного момента импульса.

Выбирая различные промежуточные моменты, можно построить несколько различных наборов базисных векторов. Мы видели, что при существует три набора. Можно показать, что в общем случае существует наборов. Переход от ного набора к другому осуществляется посредством унитарного преобразования (с вещественными коэффициентами). Легко убедиться в том, что коэффициенты преобразования не зависят от а и от М — собственного значения компоненты оператора а зависят только от квантовых чисел и двух наборов из квантовых чисел, таких как которые определяют длину промежуточных моментов, характеризующих каждый набор базисных векторов: всего

квантовых чисел Коэффициенты преобразования можно представить в форме -символов, обобщающих -символы, введенные при сложении трех моментов, -символы являются суммами коэффициентов К. — Г. по индексам . Основные свойства -символов (символы для сложения четырех моментов) приведены в Дополнении В (раздел III).