§ 3. Полуклассическая теория кулоновского возбуждения ядер

В качестве приложения рассмотрим кулоновское возбуждение ядра заряженной частицей, например, протоном.

Предположим, что монохроматический пучок протонов сталкивается с ядерной мишенью. В результате столкновений ядра мишени совершают переходы из основного состояния а в возбужденные состояния. Вычислим сечение перехода в данное возбужденное состояние

Обозначим заряд ядра, Н — его радиус, — спины и энергии состояний соответственно. Имеется линейно независимых состояний а, которые можно отличать друг от друга по величине компоненты спина по направлению данной оси квантования; этим состояниям соответствуют векторы . Если — гамильтониан ядра, то

Обозначим энергию столкновения в системе центра масс протона и ядра, — энергию возбуждения ядра, — направление налетающего протона, направление неупруго рассеянного протона и — угол между этими направлениями. Нам нужно вычислить величину

т. е. сечение процесса, в котором протон неупруго рассеивается в направлении а ядро переходит из состояния в состояние

Рассмотрим взаимодействие протона и ядра. Для больших расстояний между протоном и ядром оно сводится

к чисто кулоновскому взаимодействию . С уменьшением вид потенциала начинает отличаться от этой простой формы. Пока отличие имеет чисто электромагнитное происхождение и сводится в основном к разности между точным кулоновским взаимодействием и членом

где — координата протона в ядре.

Как только протон «проникнет» в ядро особо важную роль приобретут ядерные взаимодействия, которые будут значительно превышать электромагнитные взаимодействия.

Если энергия Е достаточно мала, то кулоновское отталкивание не позволяет протону приблизиться к ядру и, следовательно, остается доминирующим взаимодействием в течение всего процесса столкновения. Движение протона и ядра определяется тогда в первом приближении гамильтонианом

где — кинетическая энергия протона. Движения протона и ядра полностью разделяются. Последнее остается в своем основном состоянии, в то время как протон упруго рассеивается, и дифференциальное сечение дается формулой Резерфорда (VI. 29)

где а — половина наименьшего расстояния между протоном и ядром при классическом рассмотрении их движения

Данное приближение оправдано, если

Дополнительно будем предполагать, что

где

Из-за отличия взаимодействия протона и ядра от могут произойти неупругие столкновения. Так как по условию (28)

протон лишь незначительно «проникает» в ядро, отличие сводится в основном к члену V. В силу условия (30) кулоновское рассеяние можно рассматривать классически (§ VI. 5). Движение протона есть движение волнового пакета пренебрежимо малых размеров, центр которого удовлетворяет соответствующим классическим уравнениям движения. В данном неупругом столкновении движение протона также можно рассматривать классически. Если пренебречь членом V, то решение классических уравнений движения известно. При этом требуется, чтобы можно было также пренебречь энергией переданной в течение столкновения от протона ядру. Такое приближение оправдано, если выполнено условие (29). Так как траектория протона определена, V становится зависящим от времени возмущением, действующим на динамические переменные ядра

и может вызвать переход Поскольку вероятность перехода мала (a posteriori можно оправдать, что 1), то достаточно ограничиться приближением первого порядка. Формула (25) дает

Искомое сечение равно произведению этой вероятности на сечение Резерфорда

Остается вычислить Мы ограничимся только тем, что приведем схему вычислений. Обозначим полярные координаты векторов соответственно; зависят от . Если разложить по сферическим функциям то получим

где

Разложение справедливо только при что в нашем случае всегда выполняется, поскольку протон не «проникает» в ядро. Подставляя разложение (34) в формулу (32), получаем

Коэффициенты зависят только от классической траектории протона и могут быть найдены численным интегрированием.

Операторы есть стандартные компо» центы электрического -польного момента (см. § XIII. 33). Следовательно, в формуле (37) отличны от нуля только те матричные элементы, которые удовлетворяют правилам отбора по моменту и четности

— четности состояний соответственно). Кроме этого, согласно теореме Вигнера — Эккарта

В силу правил отбора (39) сумма в (37) ограничена конечным числом значений I определенной четности и только одним значением . Грубая оценка показывает, что -вклад составляет порядка от -вклада. Таким образом, можно оставить только член, отвечающий наименьшему значению допустимому правилами отбора: либо либо Обозначив это значение имеем

Подставляя это выражение в формулу (33), получаем теоретическое значение для сечения, которое можно сравнить с экспериментальными данными.

В эксперименте, где ядра мишени не ориентированы и не наблюдается ориентация возбужденных ядер, измеряемое сечение получается усреднением определенного выше сечения по возможным значениям и суммированием по возможным значениям Принимая во внимание соотношения

ортогональности коэффициентов Клебша—Гордана, получаем

Зависимость сечения от углов определяется выражением, стоящим в скобках, и должна быть найдена численно. Отметим, что начальное и конечное состояние ядра входит в эту формулу только посредством таких характеристик, как спин, четность и квадрат модуля матричного элемента электрического -польного момента который фигурирует как множитель пропорциональности. Следовательно, сравнение полученной формулы с экспериментом дает непосредственный способ определения этих характеристик структуры ядра.