§ 21. Следствие: вырождение Крамерса

Вещественность гамильтониана , как и любая другая симметрия, отражается в наличии специальных свойств в задаче на собственные значения.

Если — собственный вектор оператора Н

то комплексно сопряженный вектор также является собственным для Н и соответствует тому же собственному значению, т. е. по предположению

и так как Е — вещественное число, то

Следовательно, подпространство , соответствующее собственному значению Е, инвариантно относительно действия антиунитарного преобразования К, и можно применить результаты § 19. Следует рассмотреть два случая в соответствии

1-й случай. (четное число спинов 1/2).

В каждом из подпространств можно выбрать ортонормированный базис, все векторы которого вещественны. Таким образом, Н имеет (по крайней мере) один базис, все векторы которого вещественны.

2-й случай. (нечетное число спинов 1/2).

В каждом из подпространств Же можно выбрать ортонормированный базис, состоящий из пар комплексно сопряженных векторов. Итак, каждое из подпространств Же имеет четную размерность: каждое собственное значение гамильтониана Н по крайней мере двукратно вырождено и его вырождение обязательно имеет четную кратность. Вырождение такого типа называют вырождением Крамерса.

Некоторые системы не имеют симметрий, отличных от инвариантности относительно обращения времени. Пример этому дает система атомов в асимметрической кристаллической решетке. Такой атом можно рассматривать как систему, находящуюся в чисто электростатическом внешнем поле. Гамильтониан такого атома веществен. Если он содержит нечетное

число электронов, то все энергетические уровни двукратно вырождены. Это вырождение можно устранить введением магнитного поля.