§ 11. Атом с LS-связью. Расщепление за счет спии-орбитального взаимодействия

Рассмотрим влияние спин-орбитального взаимодействия в случае -связи когда можно считать возмущением гамильтониана

Спектр невозмущенного гамильтониана был описан в § 9. Каждый уровень отвечает определенному значению L и S и

кратность его вырождения равна подпространство соответствующих собственных векторов натянуто на множество векторов с определенными значениями орбитального момента и спина; обозначим их Квантовое число а указывает конфигурацию к которой принадлежит данный уровень, и служит для того, чтобы различать уровни одной и той же конфигурации, имеющие одинаковые значения .

Энергия возмущения получится, если диагонализовать в подпространстве отвечающем каждому из невозмущенных уровней. Покажем, что в каждом из подпространств матричные элементы те же, что и у оператора где А — константа, характеризующая невозмущенный уровень

Доказательство. Поскольку базисные векторы антисимметричны, вклады в матричный элемент Z членов в равны. Следовательно, достаточно рассмотреть только один из них, например, индекс 1 не существен и далее мы его опускаем. Взяв произвольную компоненту оператора 2 и произвольную компоненту оператора можно построить оператор который является компонентой векторного оператора, неприводимого по отношению к вращениям орбитальных переменных, и компонентой векторного оператора, неприводимого по отношению к вращениям спиновых переменных. Таким же свойством обладает и оператор Используя теорему Вигнера — Эккарта, несложно получить (см. задачу XIII. 19)

где — не зависящая от магнитных квантовых чисел константа. Следовательно,

и соотношение (45) получается, если каждый член умножить на Z и положить

Оператор в подпространстве не диагонален в представлении но поскольку он инвариантен относительно вращений, он диагонален в представлении базисные векторы которого являются собственными для операторов Соотношение (45) позволяет определить его собственные значения. Действительно, поскольку

имеем

Таким образом, невозмущенный уровень расщепляется на столько уровней, сколько имеется возможных значений Кратность их вырождения равна , а энергия возмущения дается формулой (46).

На рис. 8 приведена схема уровней конфигурации основного состояния атома углерода с -связью. Спин-орбитальное взаимодействие влияет лишь на состояние оно расщепляется на три: Так как в данном случае уровни расположены в порядке возрастания и низшим является вень