§ 10. Столкновение протонов

Проведенное в предыдущем параграфе исследование может быть легко распространено на случай столкновения двух тождественных частиц со спином. В качестве примера рассмотрим столкновение двух протонов, предполагая, что потенциал взаимодействия имеет центральную симметрию. Полный спин является постоянной движения, однако взаимодействие в синглетном и триплетном состояниях может быть различным.

Пусть обозначают соответствующие несимметризованные амплитуды рассеяния. Поскольку протоны являются фермионами, волновая функция должна быть антисимметричной относительно перестановки этих частиц. Если функция описывает триплетное состояние, то она симметрична относительно обмена спинов и, следовательно, антисимметрична относительно перестановки координат так что симметризованная амплитуда рассеяния имеет вид

Поперечное сечение рассеяния протонов в триплетном состоянии

Если же волновая функция описывает синглетное состояние, то она является антисимметричной при обмене спинов и, следовательно, симметричной относительно обмена пространственных координат, так что в этом случае симметризованная амплитуда рассеяния имеет вид

Таким образом, поперечное сечение рассеяния двух протонов в синглетном состоянии

Если мишень и налетающий поток состоят из неполяризованных протонов, то в каждом столкновении имеется случайное распределение спинов у налетающей частицы и частицы мишени. Поскольку пространство триплетных состояний трехмерно, а пространство синглетных состояний одномерно, то полный спин в начальном состоянии с вероятностью 3/4 будет равен единице и с вероятностью равняется нулю, так что

Если дополнительно предположить независимость потенциала от спина, то

и мы получаем окончательно

В частности, в области достаточно низких энергий, когда можно пренебречь ядерными силами и рассматривать как отталкивающий кулоновский потенциал амплитуда рассеяния определяется формулой (XI.33), а сечение рассеяния — формулой Мотта

где — энергия в системе центра масс, а и — относительная скорость двух протонов. Полезно сравнить этот результат с формулой Резерфорда (ур. (XI. 36)).

Классическое рассмотрение дает только два первых члена формулы Мотта

Третий член обусловлен чисто квантовым эффектом интерференции амплитуд рассеяния Если то этот член осциллирует около нуля тем быстрее, чем больше мы отклоняемся от угла (в любом направлении). В пределе эти осцилляции, сохраняя амплитуду, становятся все

более быстрыми, так что среднее значение сечения усредненное по малому, но не нулевому телесному углу стре мится к классическому сечению