НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ АКСИОМ, совместимость, корректность

— свойство системы аксиом дедуктивной теории, состоящее в том, что из нее нельзя вывести противоречие, т. е. конъюнкцию каких-либо двух предложений, одно из которых является отрицанием другого. Для широкого класса формальных теорий, включающих принципы интуиционистской логики, Н. с. а. равносильна существованию в данной теории хотя бы одного недоказуемого предложения. Поскольку в более слабых дедуктивных системах, основанных на минимальной логике, интуиционистский принцип не имеет места, но верен более слабый принцип , то для них Н. с. а. равносильна существованию неопровержимого предложения. Для еще более слабых систем (различных модификаций положительной логики) все перечисленные формулировки, кроме второй, теряют смысл; ее и принимают в качестве определения непротиворечивости.

Непротиворечивость, необходимая для того, чтобы систему можно было рассматривать как описание некоторой содержательной ситуации, не гарантирует существования такой ситуации. Но поскольку для любой непротиворечивой системы аксиом могут быть указаны модели (теорема Гёделн о полноте исчисления предикатов узкого), и притом даже любой бесконечной мощности (теорема Лёвенгейма — Сколема), то для представителей «классических» направлений в основаниях математики и логики Н. с. а. служит и достаточным условием существования совокупностей абстрактных объектов, описываемых аксиомами. Поскольку описываемая теорией ситуация лежит вне самой теории, данное выше понятие внутренней (синтаксической) Н. с. а. тесно связано с т. н. внешней (семантической) Н. с. а., заключающейся в недоказуемости в данной теории никакого утверждения, противоречащего фактам описываемой ею действительности. Несмотря на эту связь, синтаксическая и семантическая Н. с. а. равносильны лишь для таких «бедных» логич. теорий, как, напр.,

исчисление высказываний; вообще же внутренняя непротиворечивость теории сильнее внешней. Роль отображаемой какой-либо конкретной теорией «действительности» может играть некоторая другая дедуктивная теория, так что внеш. непротиворечивость исходной теории можно понимать как ее относительную непротиворечивость, а указание системы соответствующих семантических правил перевода понятий, выражений и утверждений из второй теории в первую, дающее интерпретацию (модель) исходной теории, оказывается для нее относительным доказательством непротиворечивости.

В классической математике источником построения моделей для таких доказательств служила множеств теория. Однако после обнаружения в теории множеств антиномий (парадоксов, противоречий) возникла потребность в новых, принципиально отличных от метода интерпретаций, методов доказательства Н. с. а. (в некотором смысле абсолютных). Такая же потребность возникает и в силу несовпадения понятий внутренней и внешней Н. с. а. Можно избрать и промежуточный путь, требуя абсолютного доказательства Н. с. а. только для теории множеств (к которой уже можно было бы сводить проблемы Н. с. а. конкретных теорий чисто теоретико-модельными средствами), или хотя бы для арифметики формальной, т. к. средствами последней строится теоретико-множественный универсуум осн. разделов классической математики. Такой путь и избрал нем. математик Д. Гильберт (1862—1943), предложивший широкую программу, в ходе выполнения которой обосновываемые теории прежде всего необходимо подвергать формализации, а полученные формальные системы (исчисления) исследовать на предмет их синтаксической непротиворечивости т. н. финитными средствами, т. е. содержательными средствами, не использующими сомнительных теоретико-множественных абстракций. Такие абсолютные доказательства составили осн. содержание т. н. метаматематики (см. Доказательств теория). Но уже в 1931 австр. математик К. Гёдель доказал принципиальную невыполнимость гильбертовской программы как раз по отношению к арифметике натуральных чисел (и, тем более, к теории множеств). Он показал, что в непротиворечивой арифм. формальной системе непременно найдутся неразрешимые (недоказуемые и неопровержимые) предложения, так что требования Н. с. а. арифметики и ее полноты (см. Полнота формальной теории) оказываются несовместимыми. А это свидетельствует не только о неосуществимости гильбертовской программы в полном ее объеме, но и о принципиальной ограниченности самого аксиоматического метода. В связи с этим был предложен ряд расширений первоначальной фини-тистской концепции, позволивших получить хотя и не финитные, но в определенном смысле конструктивные доказательства непротиворечивости арифметики. Коренной пересмотр самого понятия доказательства и трактовки проблемы непротиворечивости осуществляется в рамках ультраинтуиционистской концепции, средствами которой уже получено, в частности, обоснование наиболее употребительных систем аксиоматической теории множеств.

Ю. А. Гастев.