НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ.

В общем виде некорректно поставленную задачу можно записать так:

где — метрические простр. (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе), А — непрерывный оператор; при этом предполагается, что у оператора А имеется обратный оператор но он не является непрерывным. Пусть элементы связаны соотношением Тогда элемент точным решением ур-ния (1) с точной правой частью Если элемент известен прибл. (пусть и — это приближение), то речь может идти лишь о нахождении прибл. к решения ур-ния (1). При этом возникает принципиальной важности вопрос: что понимать под прибл. решением ур-ния Если дан ответ на этот вопрос, то задача состоит в нахождении алгоритмов построения прибл. решений ур-ния (1), обладающих свойством устойчивости к малым изменениям входных данных. В частности, нахождение таких алгоритмов имеет большое значение для автоматизации обработки экспериментальных данных.

Прибл. решения многих некорректно поставленных задач вида (1) строились давно. Осн. способом построения решений был метод подбора. Он состоит в том, что вычисляют левую часть ур-ния (1) A z для некоторого подмн-ва (набора) элементов z, принадлежащих т. е. решают «прямую» задачу, и в качестве искомого прибл. решения выбирают такой элемент из для которого невязка миним. на Обычно в качестве выбирают семейство элементов z, зависящих от конечного к-ва числовых параметров так, что является замкнутым мн-вом конечномерного простр. Если, кроме того, известно, что искомое решение то в этом случае и достигается эта нижняя грань на точном решении ур-ния При этом, если есть последовательность элементов, на которой невязка при , то неизвестно, будет ли последовательность сходиться к точному решению . Если, кроме того, известно, что каждый параметр изменяется в конечных пределах, то будет компактным и , т. е. метод подбора позволяет получить прибл. решение. В других условиях метод подбора, вообще говоря, не пригоден для построения прибл. решений. Выяснить условия применимости метода подбора можно, пользуясь теоремой: если отображение F U компактного мн-ва F непрерывно и взаимно однозначно, то обратное отображение U F также непрерывно. Поэтому, если подмн-во является компактным, и отображение непрерывно и взаимно однозначно, то из следует р

Т. о., если решение ищется на компактном мн-ве, то метод подбора устойчив и им можно пользоваться для нахождения прибл. решений ур-ния (1).

В 1962 г. сов. математик М. М. Лаврентьев ввел понятие корректности по Тихонову. Задача решения ур-ния (1) наз. корректной по Тихонову, если известно, что для точного значения правой части существует единственное решение, принадлежащее заданному компактному мн-ву F (классу корректности). В таких случаях решение, полученное с помощью обратного оператора будет непрерывно зависеть от входных данных и, если последние принадлежат мн-ву AF. В ряде случаев компактные классы ф-ций F можно указать. В таких случаях задача состоит в нахождении условий, обеспечивающих компактность мн-ва F, и прибл. решения строятся по Но часто элемент и содержит случайные погрешности (так как его получают путем измерений) и поэтому может не принадлежать мн-ву AF. На таких элементах и обратный оператор не определен и поэтому он не пригоден для построения устойчивых прибл. решений ур-ния (1) по ф-ле .

Чтобы преодолеть возникающие при этом трудности (когда и применяют т. н. квазирешение ур-ния (1). Квазирешением ур-ния (1) наз. элемент минимизирующий функционал . Очевидно, что если . Если F — компактное мн-во (короче - компакт), то квазирешение всегда существует. Если линейные нормированные простр. и F — выпуклый компакт, строго выпукло, то квазирешение единственно и непрерывно зависит от и. Т. о., прибл. решение ур-ния (1) можно свести к нахождению его квазирешения, при этом прибл. решение ищется на заданном компакте.

В ряде случаев мн-во F не является компактным и изменения правой части ур-ния (1), связанные с ее прибл. характером, могут выводить

ее из мн-ва AF. Такие задачи наз. существенно некорректными.

В 1963 г. сов. математик А. Н. Тихонон разработал новый подход к решению некорректно поставленных задач, позволяющий строить прибл. решения, устойчивые к малым изменениям входных данных и, для существенно некорректных задач. В осноне этого подхода лежит понятие регуляризирующего оператора. Если задача (1) является некорректно поставленной (неустойчива), то оченидно, что прибл. решение не может быть определено как точное решение ур-ния (1) с прибл. правой частью Элемент можно определить только с помощью оператора, зависящего от параметра, значения которого надо брать согласованными с точностью входных данных Оператор , зависящий от параметра а, называется регулярнейрующим для ур-ния (1), если он обладает такими свойстнами: во-первых, он определен для всякого и любого , во-вторых, если то существует такое а (б), что для любого найдется такое что если то где

В качестве прибл. решения ур-ния (1) надо брать элемент , полученный с помощью регуляризирующего оператора , где согласовано с точностью входных данных и . Это решение наз. регуляризованным решением ур-ния (1). Числовой параметр а наз. параметром регуляризации. Оченидно, что всякий регуляризирующий оператор имеете с выбором определяет устойчивый метод прибл. построения решений ур-ния (1). Если известно, что , то значение параметра регуляризации можно выбрать так, что при б О регуляризованное решение стремится (в метрике F) к искомому точному решению Это и оправдывает предложение брать в качестве прибл. решения ур-ния (1) регуляризованное решение. Т. о., задача сводится к нахождению регуляризирующих операторов и к оценке параметра регуляризации а по дополнительной информации о задаче, напр., по величине уклонения правой части от ее точного значения. В матем. литературе описанный метод наз. методом регуляризации.

Известен и способ построения . Он основан на вариационном принципе и состоит в следующем. Пусть неотрицательный функционал, определенный на подмн-ве простр. F и такой, что для всякого числа мн-во элементов z, для которых компактно в F. Пусть известно, кроме того, что и уклонение праной части от точного значения не превосходит , т. е. . Тогда прибл. решение надо искать в классе элементов z, для которых Но это мн-во не является компактным. Если от прибл. решения потребовать еще, чтобы оно минимизировало функционал на то задача сведется к минимизации функционала

Пусть элемент, на котором достигает минимума. Элемент можно рассматривать как результат применения к правой части некоторого оператора зависящего от а, т. е. . Для широкого класса ур-ний показано, что оператор янляется регуляризирующим. Пусть F — простр. непрерывных на ф-ций простр. ф-ций, интегрируемых с квадратом вместе с произнодными до порядка. Для этого случая в качестне можно брать

где заданные ф-ции и Функционалы стабилизаторами. Стабилизаторы вида тихоновскими стабилизаторами порядка.

Регуляризированное решение, минимизирующее функционал можно найти как прямыми методами минимизации функционалов, так и путем решения краевой задачи для соответствующего ему ур-ния Эйлера.

Для случая гильбертовых простр. F и U найден способ построения регуляризирующих операторов, оснонанный на их спектральном представлении с помощью интеграла по спектральной мере оператора.

Для интегральных уравнений типа свертки

с помощью обратного Фурье преобразования можно указать широкий класс регуляризирующих операторов вида

где — преобразования Фурье ф-ций — произв. ф-ция, удовлетворяющая некоторым дополнительным условиям. Если для и равна 1 для то получим известный оператор (метод Котельникова). Если положить

где — четная неотрицательная ф-ция, такая, что для и для достаточно больших , то регуляризованные

решения будут находиться по ф-ле

Такое решение можно получить и как ф-цию, минимизирующую функционал если в качестве взять

где — преобразование Фурье ф-ции z(t). Если четный многочлен степени то (7) совпадает с тихоновским стабилизатором порядка с постоянными коэфф. . Заметим, что ф-ция может иметь любой порядок роста на бесконечности. Определение значения параметра регуляризации а, согласованного с точностью 6 входных данных, производится либо по принципу невязки, т. е. из соотношения , либо путем использования другой дополнительной информации.

В тех случаях, когда информация о входных данных и об искомом решении носит вероятностный характер, при построении устойчивых прибл. решений некорректно поставленных задач используют понятия статистики. Напр., такой подход был использован в применении к ур-ниям типа свертки. Здесь используется или интерпретация входных данных и искомых решений как реализаций стационарных случайных процессов, или включение входных данных и искомого решения в семейство ф-ций с заданными плотностями вероятностей.

Лит.: Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск, 1962 [библиогр. с. 90—91]; Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. «Доклады АН СССР», 1963, т. 151, № 3; Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. «Доклады АН СССР», 1963, т. 153, M.: Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах. «Математический сборник. Новая серия», 1963, т. 61, в. 2; Тихонов А. Н. О нелинейных уравнениях первого рода. «Доклады АН СССР», 1965, т. 161, № 5; Бакушинский А. Б. Один общий прием построения регуляризирующих алгоритмов для линейного некорректного уравнения в гильбертовом пространстве. «Журнал вычислительной математики и математической физики», 1967, т. 7, № 3; Арсенин В. Я., Иванов В. В. Об оптимальной регуляризации. «Доклады АН СССР», 1968, т. 182, № 1.

В. Я. Арсенин, А. Н. Тихонов.