ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИ

— линейные непрерывные функционалы, определенные в пространстве К всех вещественных функций имеющих непрерывные производные всех порядков и обращающихся в нуль вне некоторой ограниченной области (своей для каждой из ф-ций ). Пространство К является линейным и называется основным, а принадлежащие ему ф-ции основными. Рассматривают также простр. комплексных ф-ций удовлетворяющих указанным условиям; в этом случае линейные непрерывные функционалы (см. Оператор), принимающие, возможно, и комплексные значения, наз. комплексными О. ф. О. ф. можно рассматривать как функционалы и в других основных простр. Каждая обычная ф-ция абсолютно интегрируемая в любой конечной -мерной области простр. (локально-интегрируемая ф-ция), является обобщенной, т. к. она определяет функционал

Задаваемые такими ф-лами О. ф. наз. регулярными, а все остальные — сингулярными. Регулярная О. действующая по постоянной С.

Поскольку обычные локально-интегрируе-мые ф-ции являются частью всей совокупности О. ф., то и для О. ф. иногда сохраняют обозначение однако тогда уже нельзя говорить о значениях О. ф. в отдельных точках. Кроме того, вместо иногда пишут хотя с точки зрения обычного анализа такая запись, вообще говоря, не имеет смысла.

К О. ф. относится, иапр., дельта-функция б функционал, который ф-ции ставит в соответствие число Часто встречается также «сдвинутая» дельта-ф-ция — функционал определяемый равенством Построены также О. ф., отвечающие широкому классу ф-ций имеющих в отдельных точках неинтегрируемые особенности, и совпадающие с во всех точках их локальной интегрируемости.

О. ф. обладают рядом свойств, которых нет у обычных ф-ций. Напр., всякая О. ф. имеет производные всех порядков, которые также являются О. ф.

О. ф. получили широкое распространение в различных разделах математики. В нестрогой форме О. применяли физики уже давно. Впервые в явной (и теперь общепринятой форме) О. ф. ввел сов. математик С. Л. Соболев в 1936.

Лит.: А. И. Березовский.