УСТОЙЧИВОСТИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ ТЕОРИЯ

— раздел автоматического управления теории, изучающий условия, при которых дискретная система (ДС) обладает устойчивостью. Когда эти условия принимают вид конкретных неравенств, зависящих только от параметров системы, их называют устойчивости критериями. Устойчивость (в широком понимании) — способность системы стремиться из различных начальных состояний к некоторому равновесному (стационарному) состоянию.

Весьма широкий и наиболее изученный класс ДС может быть описан разностными ур-ниями вида

где вектор фазовых координат однозначно определяющий динамическое состояние ДС; — дискретная независимая переменная; однозначная вектор-функция, ограниченная на любом ограниченном множестве значений у. Система уравнений (1) представляет собой дискретный аналог системы автономной обыкновенных дифференциальных ур-ний. Будем рассматривать ее решения в евклидовом фазовом пространстве Состоянию покоя ДС в соответствует точка равновесия (инвариантная точка) для которой справедливо тождество Обобщением понятия «инвариантная точка» является инвариантное мн-во М, для которого из следует .

Подстановка приводит (1) к виду:

Решение невозмущенным движением, уравнения (2) — уравнениями возмущенного движения, а их решения возмущенными движениями системы (1). Невозмущенным движением системы (2) является тривиальное решение

Невозмущенное движение системы устойчивым Ляпунову (или просто устойчивым), если для любого существует такое что при всех из в силу системы (2) следует евклидова норма ). Если, кроме того, при любом то невозмущенное движение системы асимптотически устойчивым. Если для некоторого невозможно подобрать число удовлетворяющее приведенному определению, то невозмущенное движение системы (1) неустойчиво. Как следует из определений, вопрос об устойчивости невозмущенного движения системы (1) полностью решается исследованием устойчивости тривиального решения системы (2), поэтому в дальнейшем будем рассматривать только ур-ния возмущенного движения. В тех случаях, когда тривиальное решение системы (2) устойчиво (асимптотически устойчиво) при любых начальных состояниях говорят об устойчивости (асимптотической устойчивости) в целом;

если же устойчивость (асимптотическая устойчивость) имеет место лишь при , где R — некоторая односвязная область в говорят об устойчивости (асимптотической устойчивости) в области

Наиболее общим методом анализа устойчивости является дискретный аналог метода Ляпунова. Он сводит задачу исследования устойчивости системы (2) к изучению свойств некоторой непрерывной ф-ции Ляпунова) и ее первой разности вдоль траекторий системы (2). Ф-цию называют положительно (отрицательно) определенной, если -

Если условия (3) выполняются не при всех х, а только в некоторой области R, являющейся окрестностью начала координат, то говорят о положительной (отрицательной) определенности ф-ции в области R. Основой 2-го метода Ляпунова являются следующие три теоремы.

Теорема 1. Пусть в области , внутри которой ф-ция положительно определена, а ее первая разность вдоль траекторий системы (2) неположительна. Тогда тривиальное решение системы (2) устойчиво по Ляпунову.

Теорема 2. Если при тех же предположениях о ф-ции ее первая разность вдоль траекторий системы (2) отрицательно определена, то тривиальное решение системы (2) асимптотически устойчиво.

Следствия: 1) Если условия теоремы 1 (2) выполнены в области , заданной неравенством то тривиальное решение системы (2) устойчиво (асимптотически устойчиво) в R. 2) Если при и выполнены условия теоремы 1 (2), то тривиальное решение системы (2) устойчиво (асимптотически устойчиво) в целом.

Теорема 3. Пусть в сколь угодно малой окрестности начала координат ф-ция может принимать отрицательные значения, а ее первая разность вдоль траекторий системы (2) отрицательно определена в области , внутри которой Тогда тривиальное решение системы (2) неустойчиво.

Следующая теорема является одной из модификаций теорем 1—2.

Теорема 4 (дискретный аналог теорем Барбапшна — Красовского и Ла Салля). Пусть выполнены все условия теоремы 1 и следствия 2 и, кроме того, L ограничено и представляет собой мн-во всех точек из в которых Тогда: а) тривиальное решение системы (2) асимптотически устойчиво в целом, если L не содержит др. целых траекторий; б) если М — макс. инвариантное мн-во из L, то все решения системы (2) при неограниченно приближаются к М.

Теоремы 1—4-я допускают наглядную геом. интерпретацию. Предположим для простоты, что положительно определенная ф-ция выпукла. Тогда ур-ние

определяет в семейство замкнутых, непересекающихся, вложенных друг в друга поверхностей, зависящих от параметра с (рис. 1); причем поверхность расположена внутри поверхности если До тех пор, пока вдоль траекторий системы ф-ция убывает изображающая точка системы скачкообразно переходит с наружных поверхностей на внутренние. Если отрицательно определена, т. е. ф-ция убывает всюду, кроме начала координат, то изображающая точка при своем движении асимптотически стремится к поверхности т. е. к точке

Условия теорем 1—4-й не являются критериями устойчивости, поскольку в настоящее время не существует конструктивных методов выбора ф-ции Ляпунова для системы (2). Однако для ряда частных случаев такие критерии получены; ниже приведены наиболее важные из них.

Важный класс составляют линейные , для которых ур-ние (2) принимает вид

где А — числовая квадратная матрица. Если положить

где Р — положительно определенная матрвца, а символ обозначает транспонирование, то вдоль траекторий системы (5) , где

Справедлива следующая теорема (дискретный аналог теоремы Ляпунова).

Теорема 5 (теорема Бромберга). Пусть тогда матрица , удовлетворяющая матричному уравнению (7), существует в том и только в том случае, если все корни (А) уравнения

лежат внутри круга единичного радиуса, т. е. если

Из теорем 5-й и 2-й следует, что условие (9) является условием асимптотической устойчивости системы (5); оно является необходимым и достаточным, в чем можно убедиться и непосредственно, записав решение ур-ния (5). Известно весколько эффективных критериев, гарантирующих выполнение условия (9),

поэтому отыскивать корни ур-ния (8) нет необходимости. Так, напр., подстановка в ур-ние сводит рассматриваемую задачу к проблеме Гурвица и позволяет воспользоваться одноименным критерием (см. Гурвица теорема). Применение принципа аргумента к многочлену D (X) позволяет получить дискретный аналог критерия Михайлова: система (5) асимптотически устойчива в том и только в том случае, если при изменении от 0 до и вектор поворачивается против часовой стрелки на угол

1. Геометрическая интерпретация 2-го метода Ляпунова.

2. Геометрическая интерпретация частотного критерия устойчивости.

При рассмотрении разомкнутых и замкнутых ДС из критерия Михайлова непосредственно следует дискретный аналог частотного критерия Найквиста, который для ДС формулируется так же, как и для непрерывных систем.

Если вектор-функция из уравнения (2) непрерывна по совокупности своих аргументов, то в окрестности начала координат ее можно представить в виде абсолютно сходящегося степенного ряда. Ограничившись линейными членами разложения, получим первое приближение системы (2) радиуса, то тривиальное решение системы (2)

Следующие теоремы являются дискретными аналогами теорем Ляпунова об устойчивости в малом (см. Ляпунова методы).

Теорема 6. Если все корни ур-ния

лежат внутри круга единичного радиуса, то тривиальное решение системы (2) асимптотически устойчиво в достаточно малой своей окрестности (иногда говорят: асимптотически устойчиво в малом).

Теорема 7. Если хотя бы один корень ур-ния (11) расположен вне круга единичного неустойчиво.

Для широкого класса нелинейных ДС система ур-ний (2) может быть приведена к квазилинейному виду

где ф-ции определены всюду в или в некоторой окрестности начала координат. В соответствии с принципом сжатых отображений Банаха для устойчивой системы (12) справедливо неравенство

На основе (13) и различных определений нормы матрицы для системы (12) установлен следующий результат.

Теорема 8. Тривиальное решение системы (12) асимптотически устойчиво в целом, если при всех выполнено одно из неравенств

где собственные значения матрицы

Весьма эффективные критерии устойчивости получены для нелинейных , ур-ние которых содержит явно выраженную линейную часть:

где А — квадратная числовая матрица; а и b — числовые векторы-столбцы; скалярная нелинейная ф-ция.

Для линейной части системы (17) введем понятие частотной характеристики

Тогда для системы (17) следующая теорема устанавливает частотный критерий устойчивости Попова — Цыпкина.

Теорема 9. Тривиальное решение системы (17) асимптотически устойчиво в целом, если: а) все корни ур-ния (8) лежат внутри круга единичного радиуса и в) при всех вещественных выполнено неравенство

В случае, если условие (б) теоремы 9 не выполнено (т. е. линейная часть системы неустойчива), систему (17) следует предварительно

преобразовать с помощью подстановки :

Если при этом удастся подобрать такое е, чтобы матрица А удовлетворяла условию (б), то теорему 9 следует применить к преобразованной системе (20).

Условие (а) теоремы 9-й не зависит от конкретного вида ф-ции и требует лишь, чтобы ее график находился в секторе, заключенном между осью и прямой , Т. о., теорема 9-я гарантирует устойчивость целого класса систем. Способность системы сохранять устойчивость при любых нелинейных характеристиках принадлежащих указанному сектору, наз. абсолютной устойчивостью в секторе (0, к). Условие (в) теоремы 9-й также допускает наглядную геом. интерпретацию. Неравенство (19) означает, что годограф частотной характеристики линейной части системы должен лежать справа от вертикальной прямой, проходящей через точку е координатами .

Теорема 9-я выделяет в пространстве параметров системы область абсолютной устойчивости причем все аналогичные области, которые можно получить с помощью ф-ций Ляпунова вида (6), содержатся в . В дальнейшем 9-я теорема была обобщена на случай более сложных систем, описываемых ур-ниями следующего вида:

где А, В и С — квадратные числовые матрицы порядка вектор-столбец; нелинейная вектор-функция.

Теорема 10. Тривиальное решение системы (21) асимптотически устойчиво в целом, если: а) все корни ур-ния (8) лежат внутри круга единичного радиуса и в) при всех вещественных выполнено неравенство

где

Теорема 10 гарантирует системе (21) абсолютную устойчивость, которая, как и в предыдущем случае, означает устойчивость класса нелинейных систем, удовлетворяющих условию (а).

Теоремы 9 и 10 используют весьма слабую информацию о нелинейных ф-циях, входящих в ур-ния (17), (21); учитывается лишь принадлежность этих ф-ций некоторым секторам.

В тех случаях, когда о ф-циях имеется дополнительная информация, частотные критерии (19), (22) могут быть существенно усилены. Так, напр., удается эффективно использовать сведения об ограниченности, монотонности, нечетности ф-ций об ограниченности их производных и т. п. Достаточно общий метод получения таких усиленных частотных критериев устойчивости предложил сов. ученый В. А. Якубович.

В конце началось активное изучение нелинейных ДС с квазилинейной частью, ур-ния которых имеют вид:

где числовой вектор-столбец; — четные непрерывные ф-ции; разрывная (в общем случае) нечетная ф-ция;

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 11. Тривиальное решение системы (23) асимптотически устойчиво в целом, если при всех все корни уравнения лежат внутри круга единичного радиуса и б) существует такая симметрическая положительно определенная матрица и

где

Приведенные критерии находят применение при исследовании устойчивости динамических ДС и, в частности, дискретных (импульсных) систем автомат. регулирования. Напр., ур-ниями (5) описываются линейные системы с амплитудно-импульсной модуляцией, ур-ниями (17) и (21) — нелинейные амплитудно-импульсные системы соответственно с одним и несколькими нелинейными элементами, ур-ниями (21) — широтно-импульсные системы, ур-ниями (23) — частотно-импульсные системы и т. д. (см. Модуляция импульсная). Лит.: Цыпкин Я, 3. Теория линейных импульсных систем. М., 1963 [библиогр. с. 926—963]; Проблемы теории импульсных систем управления. Итоги науки. М., 1966 [библиогр. с. 173—174]; Якубович В. А. Абсолютная устойчивость импульсных систем с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками. «Автоматика и телемеханика», 1967, № 9; 1968. № 2; Бромберг П. В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. М., 1967 [библиогр. с. 320—321]: Кунцевич В. М., Чеховой Ю. Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией. К., 1970 [библиогр. с. 330—336].

В. М. Кунцевич, Ю. Я. Чеховой.