ПРЕДСКАЗАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ТЕОРИЯ

— раздел случайных процессов теории, в котором по наблюдениям одного процесса изучаются методы предсказания течения некоторого другого процесса, статистически связанного с наблюдаемым. Предположим, что случайный процесс наблюдается на некотором мн-ве Е. Требуется на осйове наблюдений предсказать наилучшим образом значение случайной величины , статистически связанной с т. е. нужно найти случайную величину , зависящую от результатов наблюдения, которую можно с наибольшим основанием приравнять ?. Пусть для каждой пары

случайных величин определено расстояние между этими величинами; тогда характеризует погрешность, возникающую от замены на . Основную задачу П. с. п. т. можно сформулировать так: необходимо найти такой функционал от наблюдаемых величин , для которого принимает наименьшее значение. В качестве возможных способов выбора расстояния (метрики) между можно рассматривать р при некотором

где М — символ математического ожидания. П. с. п. т. наиболее разработана для случая среднеквадратичной метрики

Эту метрику мы и будем рассматривать в дальнейшем. Общая задача включает в себя в качестве частных случаев задачу экстраполирования случайного процесса на Е, нужно оценить ), фильтрации случайного процесса (наблюдается на , где полезный сигнал, шум, а нужно предсказать интерполирования случайного процесса на нужно предсказать . Оценка величины с наименьшей среднеквадратичной погрешностью имеет вид

Ф-ла (1) определяет условное матем. ожидание случайной величины , при известных . Использовать равенство (1) для получения явно выражающих через можно лишь в некоторых спец. случаях (напр., если имеются достаточно простые явные формулы условного распределения при известных .

Пример. Пусть на интервале наблюдается случайный процесс где известная ф-ция, гауссовский случайный процесс с известной корреляционной функцией случайная величина с известной плотностью распределения Предположим также, что независимы. Требуется найти оценку v величины v с наименьшей среднеквадратичной погрешностью. Оптим. оценку

можно подсчитать, если дополнительно предположить, что интегр. уравнение

имеет решение интегрируемое с квадратом на отрезке [0, Т]. Тогда

В частности, если v имеет нормальное распределение и , то

линейно выражается через результаты наблюдения

Ограничение класса рассматриваемых функционалов только линейными или полиномиальными приводит к увеличению среднеквадратичной погрешности, но зато дает возможность в большем числе случаев получить явное решение, удобное для практического использования.

Задача линейного предсказания состоит в отыскании случайной величины линейно выражающейся через и минимизирующей среднеквадратичную погрешность Задачу линейного предсказания для случайных процессов впервые рассматривал А. Н. Колмогоров. По Колмогорову, эту задачу можно сформулировать геометрически так. Мн-во Н всех случайных величин с конечной дисперсией можно рассматривать как гильбертово пространство (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе), если под скалярным произведением двух случайных величин понимать При таком выборе скалярного произведения расстояние между 1 и Пусть НЕ — совокупность всевозможных комбинаций случайных величин и их пределов в смысле среднеквадратичной сходимости; НЕ — подпространство в Н. Всякий линейный функционал от результатов наблюдения представляет собой случайную величину на . Т. о., задача линейного предсказания может быть интерпретирована как задача отыскания в случайной величины наиболее близкой к

Такая случайная величина однозначно определяется соотношением

при всех .

Равенство (2) означает, что есть проекция на перпендикуляр из точки С на ЯЕ. Погрешность предсказания а равна длине этого перпендикуляра. Соотношение (2) показывает, что осн. характеристиками, знание которых необходимо для решения задачи линейного предсказания, являются корреляционная ф-ция процесса и ф-ция Возможность ограничиться этими сравнительно простыми характеристиками является существенным достоинством линейной теории. В широком классе случаев (напр., когда все конечномерные распределения системы случайных величин — гауссовские) решение линейной задачи совпадает с оптим. предсказанием, вычисленным по Ур-ние (2) для определения является основным в теории линейного предсказания и в различных конкретных задачах принимает спец. вид. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1 (экстраполирование по конечному числу наблюдений). Предположим, что процесс с известной корреляционной ф-цией наблюдается в конечном числе точек Пусть также известна ф-ция Линейный функционал от наблюдаемых величин в данном случае можно записать в виде

где необходимо найти из условия (2), которое превращается в систему линейных ур-ний

Пример 2. Предположим, что процесс с известной корреляционной ф-цией наблюдается на интервале .

Пусть — последовательности собственных значений и собственных функций интегр. ур-ния

Тогда на интервале процесс может быть представлен в виде

где следует, что надо искать в виде а используя (2), получим

Пример 3. Пусть случайные процессы с известными ф-циями Процесс наблюдается на мн-ве Е. Если наилучшую линейную оценку величины искать в виде

где - неизвестная весовая функция, а известная мера на Е, то из соотношения (2) получаем интегр. ур-ние для ф-ции с

являющееся интегр. ур-нием Фредгольма 1-го рода. Известны аналитические трудности, связанные с решением этого уравнения. Если

где некоторые известные ф-ции, мера Лебега на отрезке , то имеется метод, сводящий решение ур-нения (5) к решению системы линейных алгебр, ур-ний. Если процессы стационарны и стационарно связаны, процесс наблюдается на и наилучшая оценка ищется в виде

то ур-ние (5) принимает вид

Ур-ние ур-нием Винера—Хопфа. Амер. математик Н. Винер (1894—1964), впервые рассматривавший задачи предсказания для случайных процессов с непрерывным временем, разработал метод решения этого ур-ния. В том случае, когда являются преобразованиями Фурье дробно-рациональных ф-ций, для с можно получить явные выражения.

Если отказаться от требования линейности алгоритма обработки наблюдаемой реализации,

то можно получить оценки, которые имеют меньшую среднеквадратичную погрешность, чем линейные оценки. В частности, если рассматривать для оценки вида

где неизвестные весовые ф-ции, те из условия минимума среднеквадратичной погрешности можно получить для весовых ф-ций систему линейных ур-ний. Построение таких оценок требует знания моментных ф-ций рассматриваемых процессов включительно до порядка

П. с. п. т. широко используется в автоматического управления теории, распознавания образов, радиотехнике, метеорологии.

Лит.: Яглом А. М. Введение в теорию стационарных случайных функций. «Успехи математических наук», 1952, т. 7, в. 5; Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М., 1960; Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. М., 1965 [библиогр. с. 648—654]; Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. М., 1968 [библиогр. С. 458—460]; Миддлтон Д. Очерки теории связи. Пер.. с англ. М., 1966 [библиогр. с. 142—145].

М. И. Ядренко.