ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ.

Простейшим примером ур-ния параболического типа является ур-ние теплопроводности

описывающее распространение тепла на прямой. Здесь температура, плотность тепловых источников. Рассмотрим ур-ние (1) при на отрезке с дополнительными условиями — начальным условием

и краевыми условиями 1,2 или 3-го рода

Для решения задач (1) — (3) используют конечноразностные методы позволяющие находить решение линейных и нелинейных ур-ний параболического типа с краевыми условиями 1, 2 или 3-го рода. Для этого введем равномерную сетку узлов по пространственной и временной координате с шагами соотв. :

Производные у заменим соотв. разностными выражениями

Поставим в соответствие ур-нию (1) разностное ур-ние

Здесь а — весовой множитель, аналог ф-ции Выбор параметра а определяет устойчивость (см. Устойчивость разностных схем) и вместе с правой частью точность схемы. Напр., схема (4) с однородными краевыми условиями при устойчива по начальным данным в сеточной норме при Схема (4) с краевым условием 1-го рода и начальным условием при имеет аппроксимацию и точность при при и соответствующем выборе ф-ции Краевые условия 3-го рода аппроксимируются следующими разностными ур-ниями:

Здесь

Рассмотрим схемы для ур-ния теплопроводности с переменными и разрывными коэфф.

В точке разрыва коэфф. ставятся дополнительные условия сопряжения — условия непрерывности т-ры и теплового потока

Для решения ур-ния (5) с условиями (6) строятся однородные разностные схемы. Коэфф. схемы, являющиеся аналогами коэфф.

во всех узлах схемы вычисляются по одному и тому же правилу. Для ур-ния (5) рассматриваются схемы вида

Если точка разрыва коэфф. совпадает с узлом сетки , то полагают

Схема (7), (8) при соответствующем задании краевых и начальных условий имеет в сеточной норме С точность при точность при . Однородные схемы вида (7) получают из ур-ния теплового баланса. Для этого интегрируют, учитывая (6), ур-ние (5) от

и заменяют дифф. выражения разностными аналогами. Для уравнения теплопроводности в цилиндрических и сферических координатах

вводят соотв. сетки

и рассматривают ур-ния

где

К.р.м. являются практически единственным методом решения квазилинейных ур-ний теплопроводности. Рассмотрим, напр., ур-ние

Для его решения используют схемы

где . Решение уравнения (9), как и всех предыдущих разностных ур-ний, осуществляется факторизации методом, ур-ния (10) — с помощью итерационного процесса (см. Итерационные методы)

где в качестве начальной итерации берется значение

В случае многомерных задач для ур-ния теплопроводности используют т. н. экономичные схемы, в которых к-во арифм. операций, необходимых для вычисления сеточной ф-ции на временном слое t. по значению ф-ции на слое — порядка к-ва узлов пространственной сетки.

Рассмотрим две экономичные двухслойные абсолютно устойчивые схемы для ур-ния теплопроводности

где — прямоугольник, на границе которого задано краевое условие 1-го рода

Пусть

Введем в сетку узлов

и сетку по времени

Опустив индексы запишем схему переменных направлений

Показано, что схема (15) в сеточной норме имеет точность Для решения задачи (12—14) используют также локально-одномерную схему

Схема (16) имеет точность в сеточной норме С.

Уравнения (15) и (16) также решаются методом факторизации. Кроме рассмотренных, существует и много других схем для решения различных параболических задач.

Лит.: Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., 1971 [библиогр. с. 538—550].

Л. Л. Самарский, И. В. Фрязинов.