ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ ТЕОРИЯ

— теория построения оптимального изменения во времени регулируемых величин и управляющих воздействий объектов. Главная задача О. п. т. заключается в учете ограничений, накладываемых на входные (управляющие) и выходные величины объекта. Различные задачи, характеризующие отдельные черты проблем, составляющих существо О. п. т., встречались еще в вариационном исчислении и механике. К ним относятся вырожденные задачи вариационного исчисления и динамики полета, задачи на одностороннюю вариацию и задачи, содержащие экстремали с угловыми точками. Но эти и подобные им задачи рассматривались ранее как исключение (особый случай) общей теории и не исследовались поэтому детально. В лучшем случае до конца доводилось решение лишь некоторых конкретных задач спец. приемами.

Первой, существенно новой задачей О, п. т. явилась задача об оптимальном быстродействии, поставленная практикой автомат, регулирования. Задача об оптимальном быстродействии сыграла большую роль в открытии фундаментального положения О. п. т.- принципа максимума, являющегося одним из осн. методов построения оптим. процессов. Пусть объект управления описывается дифф. уравнением , где вектор состояния, вектор управления, t — время. В пространстве состояний заданы две точки . Требуется среди кусочно-непрерывных функций, удовлетворяющих

условию и , где U — заданное множество -мерного пространства, найти оптим. процесс при котором оптим. траектория проходит расстояние между за наименьшее время, т. е. Задача решается с использованием Понтрягина принципа максимума: найдется такое ненулевое решение уравнения

что

В отличие от вариационного исчисления, управление на сравнивается не только с близкими точками из U, а и со всеми и этом сила и особенность принципа максимума. Этот принцип с задачи быстродействия был перенесен на задачу с интегральным критерием а в дальнейшем был развит на задачи с подвижными концами.

Если момент не закреплен, то оптим. значения в задаче с интегральным критерием удовлетворяют равенству

Формулировка принципа максимума существенно усложняется для задач с ограничениями на фазовые координаты и родственных задач.

Принцип максимума Понтрягина распространен также на задачи оптимизации объектов, описываемых уравнениями с отклоняющимся аргументом, уравнениями в частных производных, интегральными, операторными и другими ур-ми (см. Терминальное управление).

Для построения вычислительных алгоритмов оптимального управления разработаны различные методы спуска. В большей части они являются обобщением на вариационные задачи методов программирования математического, предложенных для конечномерных задач: градиентного метода, метода условных градиентов и метода проекции градиента. Вычисление градиента функционала можно проводить по формуле

При оптимизации линейных систем эффективными оказались методы перехода к конечномерным двойственным задачам. Принцип максимума имеет особенно важное значение при построении программных оптимальных управлений.

Для практики оптимальных систем автомат, управления более приемлемо управление типа обратной связи (как функция фазовых координат системы). С помощью принципа максимума в некоторых случаях можно осуществлять синтез оптимальных управлений типа обратной связи. Но наибольший успех в этом направлении сопутствует методу программирования динамического Веллмана, основанному на Веллмана принципе оптимальности, справедливом, в частности, для приведенных выше критериев. Этот метод приводит к функциональным уравнениям относительно функции Веллмана и оптимальных управлений. Примером удачного применения метода динамического программирования является задача минимизации функционала

на траекториях линейной системы (задача об аналитическом конструировании регуляторов). В этой задаче оптимальное управление является линейной комбинацией фазовых координат системы.

Лит.: Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов. «Автоматика и телемеханика», 1960, № 4—6; Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений. «Журнал вычислительной математики и математической физики», 1965, т. 5, №3; Кириллова Ф. М. Об одном направлении в теории оптимальных процессов. «Автоматика и телемеханика», 1967, № 11; Красовский Н. Н. Теория управления движением. М., 1968 [библиогр. с. 448—472]; Понтрягин Л. С. [и др.]. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1969 [библиогр. с. 383—384]; Беллман Р. Динамическое программирование. Пер. с англ. М., 1960.

Р. Габасов, Ф. М. Кириллова.