СТРУКТУРА, решетка.

Пусть М — частично упорядоченное множество, U — его подмножество. Элемент точной верхней гранью мн-ва если для всех и если предположить, что из для всех вытекает неравенство . Двойственным образом определяется точная нижняя грань мн-ва Если точная верхняя и точная нижняя грани существуют для всякого двухэлементного подм-ва частично упорядоченного мн-ва М, то М наз. структурой.

Примеры. 1. Произвольная цепь (если , то ).

2. Подпространства линейного пространства, упорядоченные по включению

3. Подмножества данного мн-ва, упорядоченные по включению

4. Целые неотрицательные числа упорядоченные по делимости: , если а делит наименьшее общее кратное, НОД — наибольший общий делитель).

Пусть М — С. Положим часто употребляют символы ( или соответственно). Тогда М становится алгеброй универсальной, причем операции удовлетворяют следующим соотношениям:

Наоборот, если имеется мн-во с двумя операциями, обладающими этими свойствами, то, полагая, что в том и только том случае, когда а получим С. К тому же результату прийдем, полагая, что а 6 тогда и только тогда, когда Оба эти способа приводят к одному -тому же порядку.

Если в частично упорядоченном мн-ве М точная верхняя и точная нижняя грани существуют для всякого непустого подмножества мн-ва М, то М наз. полной С. Полная С. всегда содержит нуль и единицу. Всякую С. (и даже всякое частично упорядоченное мн-во) можно вложить, в полную С. с сохранением точных граней. Последнее означает, что, напр., точная нижняя грань, найденная в исходной С., совпадает с точной нижней гранью, определяемой в полной С. Подчеркнем, что в общем случае точная грань, найденная в подмн-ве частично упорядоченного мн-ва, может не совпадать с точной гранью, определяемой во всем мн-ве. С., рассмотренные во 2 и 3-м примерах, являются полными. Неполной С. является, напр., цепь целых чисел. Если М — С. с нулем и единицей и , то элемент дополнением элемента а, если а Если всякий элемент С. М имеет дополнение, то М наз. С. с дополнениями. С. с дополнениями являются С., рассмотренные во примерах. Цепь, содержащая больше двух элементов, не является С. с дополнениями. (Подчеркнем, что в общем случае данный элемент может иметь несколько дополнений.) Важнейшими классами С. являются дедекиндовы (или модулярные) С., определяемые условием: если a b, то и дистрибутивные С., где

выполнен дистрибутивный закон: . В дистрибутивной С. справедливы также соотношения . Каждое из них может быть использовано для определения дистрибутивной С. Элемент дистрибутивной С. с нулем и единицей не может иметь больше одного дополнения. Всякая цепь, а также С. подмножеств (3-й пример) — дистрибутивны. С. подпространств во 2-м примере дедекиндова, но не дистрибутивна. Всякая дистрибутивная С. изоморфна С. подмножеств (не обязательно всех) некоторого мн-ва. Важную роль в различных приложениях играют дистрибутивные С. с дополнениями, называемые булевыми алгебрами.

Исторически возникновение теории С. связано с наблюдением, что многие факты, касающиеся системы нормальных делителей группы и идеалов кольца, выглядят аналогично и могут быть доказаны в рамках теории дедекиндовых С. В качестве примера можно привести теорему Жордана—Гельдера: все композиционные ряды дедекиндовой структуры (если они существуют) имеют одинаковую длину.

Лит.: Скорняков Л. А. Дедекиндовы структуры с дополнениями и регулярные кольца. М., 1961 [биолиогр. с- 186—195]; Салий В. Н. Лекции по теории решеток. Саратов, 1970 [библиогр. с. 92—99]; Скорняков Л. А. Элементы теории структур. М., 1970 [библиогр. с. 145]; Биркгоф Г. Теория структур. Пер. с англ. М.. 1952 [библиогр. с. 370— 398]. Л. А. Скорняков.