ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
— методы приближенного или точного решения задач чистой или прикладной математики, основанные на построении конечной последовательности действий над конечным множеством чисел. Ч. м. являются предметом изучения вычислительной математики. Для решения и исследования Задач прикладной математики в наст, время принята и представляется наиболее эффективной следующая методология. Во-первых, составляется модель математическая (м. м.) процесса. Обычно м. м. формулируется в терминах интегр. и дифф. уравнений ф-ций непрерывного аргумента. Это т. н. континуальная м. м. Она является экономным способом описания конечной совокупности (ансамбля) дискретных объектов, когда к-во этих объектов становится большим. Такой м. м. является, напр., интегро-дифф. уравнение Больцмана, описывающее поведение ансамбля частиц в некотором объеме. Во-вторых, осуществляется переход от континуальной м. м. к дискретной м. м. Этот переход заключается в замене ф-ций непрерывного аргумента ф-циями дискретного аргумента и ур-ний континуальной м. м. конечно-разностными ур-ниями. При этом интеграл заменяется конечной суммой, а производная — разностным отношением. В результате, как правило, гоиходят к системе большого к-ва ур-ний с большим к-вом неизвестных (дискретная м. м.). В-третьих, составляется Ч. м. или вычислительный алгоритм (в. а.) для решения полученной системы ур-ний с некоторой указанной точностью. В-четвертых, производится программирование, т. е. перевод в. а. на язык вычисл. машин.
Указанные четыре этапа составляют «технологическую цепочку» современной вычисл. математики. Содержащиеся в ней переходы от исходной совокупности дискретных объектов (напр., ансамбль молекул в заданном объеме газа) к континуальной модели, а затем к другой системе дискретных объектов (разностная сетка) необходимы для уменьшения объема перерабатываемой информации. Так, в указанном примере ансамбль очень большого к-ва частиц (1024) заменяется совокупностью ячеек сетки в значительно меньшем к-ве 
, а законы сохранения в каждом акте
соударения заменяются законами сохранения для ячеек сетки, что приводит также к большой, но доступной для ЭВМ системе ур-ний. Указанный порядок не является обязательным. Так, в нейтронной физике иногда не приходят к континуальной м. м., а пользуются статистической выборкой нейтронов, получая прибл. представление ансамбля нейтронов с помощью системы «представителей», подчиняющихся тем же законам (Монте-Карло метод). Аналогично этому, при расчете плазмы пользуются моделью «больших молекул». В экономике также, как правило, конечная совокупность дискретных объектов непосредственно описывается дискретной моделью.
В последнее время в вычисл. математике все больше утверждается точка зрения автономии дискретных м. м. При этом континуальной м. м. отводится роль посредника между различными дискретными м. м. и средства логически замкнутого описания процесса. При переходе от континуальной м. м. к дискретной производится замена континуального оператора соответствующим дискретным. Так, дифф. оператор заменяется разностным, интеграл — суммой и т. д. Такая замена приводит к появлению погр. аппроксимации. В практических вычислениях следует учитывать также округления погрешность, возникающую в ЭВМ при операциях над маш. числами, имеющими ограниченное к-во значащих цифр. Учитывая это, получают реальный в. а. в отличие от теоретического в. а. Это привело к необходимости проводить анализ погр. округления и гарантированных оценок точности реальных вычислений и дало толчок к возникновению интервального анализа (см. Погрешность, Погрешностей вычислений теория).
Особое значение при этом приобрел анализ устойчивости вычисл. алгоритма (см. Устойчивость разностных схем), т. е. анализ критериев и условий роста погр. округления и аппроксимации. Следует отметить, что во многих вычисл. алгоритмах, разработанных до появления ЭВМ, приняты во внимание только погр. аппроксимации, а погр. округления не учтены и вследствие этого такие в. а. нередко оказывались неустойчивыми. В совр. в. а. требование устойчивости является совершенно необходимым.
Осн. вопросом теории в. а. является получение в. а., удовлетворяющих требованиям высокой точности, устойчивости и экономичности, которая может быть измерена некоторым условным маш. временем (см. Вычислительных алгоритмов характеристики). Эти требования независимы, фактически взаимно противоречивы и тем самым определяют «пространство» матем. теории в. а. Составление в. а., удовлетворяющего этим требованиям, представляет собой сложную задачу оптимизации в. а. Существуют разнообразные Ч. м. для решения многих важных классов задач (см. ст. о способах решения соответствующих типов ур-ний и классов задач).
Основой Ч. м. решения задач матем. физики является дискретизация задачи с последующим сведением полученных, вообще говоря, нелинейных ур-ний к системе линейных алгебр. ур-ний. В связи с этим Ч. м. можно подразделить по способу дискретизации на проекционные и конечно-разностные, а по способу решения линейной системы — на прямые и итерационные. В проекционных методах искомая ф-ция аппроксимируется некоторым элементом конечномерного векторного простр., который является линейной комбинацией элементов некоторой полной системы ф-ций (метод Фурье — Ритца—Галеркина). В конечноразностных методах искомая ф-ция задается ее значениями на дискретном мн-ве точек, и эти значения подлежат определению. В наст, время происходит идейное сближение двух указанных групп методов, поскольку дискретная ф-ция в разностных методах может рассматриваться как линейная комбинация разностных или полиноминальных ф-ций с конечным носителем.
Решения больших систем линейных ур-ний, полученные прямыми методами (напр., метод исключения Гаусса, метод Крамера), не всегда устойчивы, поэтому в последнее время предложены новые, спец. методы решения, особенно эффективные для матриц регулярной структуры (редкие матрицы с диагональным преобладанием), — это скалярная, векторная и матричные I факторизации, получившие широкое распространение в задачах матем. физики. Все большую роль начинают играть: итерационные методы, которые, в сочещнци с дробных шагов методом, являются весьма устойчивыми и обеспечивают быструюсходимость.
Итерационные и прямые методы для своей опт-ции требуют информации о спектре матрицы, по крайней мере о верхней и нижней границах спектра. Это приводит к необходимости разыскивать собственные значения матрицы (см. Собственных значений и собственных векторов матриц способы вычисления). Задача о собственных значениях возникает также при исследовании устойчивости гидродинамических течений или мех. систем. Большое значение имеют методы сведения нелинейных ур-ний к системе линейных, особенно метод итераций по нелинейности (простой и по Ньютону), метод предикатор-корректор, квазилинеаризации и др.
В последнее время большое значение приобретают нерегулярные системы, к которым приводят задачи о потоках в различного рода сетях (тепловых, энергетических сетях, трубопроводах). Здесь теория разностных схем сочетается с графов теорией.
Все большее значение приобретают Ч. м., основанные на дискретной м. м., исключающей (полностью или частично) континуальную модель (метод Монте-Карло, метод частиц). В методе Монте-Карло величине х, которую нужно вычислить, ставится в соответствие некоторая случайная величина 
математическое ожидание которой равняется х. Величина 
и случайный процесс моделируются на
ЭВМ, и средняя 
по достаточно большому 
испытаний принимается за приближенное значение х. В наст, время матем. техника метода Монте-Карло значительно выросла, разработаны остроумные методы построения случайных величин и случайных процессов и уменьшения их дисперсии.
Для т. н. некорректно поставленных задач, возникающих во многих важнейших приложениях математики, разработано много новых Ч. м. (см. Некорректно поставленных задач способы решения). Уже имеются результаты по созданию оптим. Ч. м. решения некоторых таких классов задач. За критерий оптимальности обычно принимается требование минимизации погрешности Ч. м. или минимизации к-ва осн. операций ВМ при заданной погр. При этом учитывается факт многократного решения задачи одного и того же типа. Для решения сложных задач на вычислительных системах разработана теория т. н. параллельных в. а., или -алгоритмов. Многие из указанных Ч. м. запрограммированы и являются частью библиотек стандартных программ матем. обеспечения совр. ВМ (см. Математическое обеспечение ЦВМ).
В связи с большим разнообразием Ч. м., ведущих начало от конкретных задач, возникла необходимость их классификации и унификации, что в свою очередь приводит к приближенных методов общей теории, тесно связанной с функциональным анализом, топологией, информации теорией и т. д. Алгоритмов, которыми пользуются в совр. Ч. м., очень много. Если их реализовать в виде системы достаточно универсальных программ, они могут стать производственными (управляющими) алгоритмами и послужить основой совр. технологии и производства. Я. Я. Яненка.
