ОПЕРАЦИИ НАД ЧИСЛАМИ
— совокупность действий над упорядоченной последовательностью цифр в соответствии с набором правил, задаваемых алгоритмами выполнения операций, в результате которых образуется новая последовательность цифр. Основными О. н. ч. являются: арифм. операции, операции сравнения, преобразования числа и логические операции.
Арифметические операции. К ним относятся: операции сложения, вычитания, умножения, деления и операция извлечения квадратного корня. Методы выполнения этих операций зависят от применяемой системы счисления (позицйонная или непозиционная), от выбора основания системы счисления, от способов кодирования отрицательных чисел.
Наиболее просто арифм. операции реализуются в двоичной позиционной системе счисления.
Сложение и вычитание. Составной частью всех алгоритмов выполнения арифметической О. н. ч. является элементарная операция суммирования. Полная операция арифм. сложения отличается от простого суммирования тем, что необходимо учитывать знаки слагаемых, способ кодирования отрицательных чисел, положение запятой при представлении чисел (фиксированная или плавающая) и требование округления результата. Для кодирования отрицательных чисел используются прямой, обратный или дополнительный коды (см. Код, Коды корректирующие).
Кодирование отрицательных чисел обратным или дополнительным кодом дает возможность вычитание числовых значений заменить суммированием. При кодировании абсолютного значения числа прямым кодом осуществляется перевод прямого кода отрицательного числа в обратный или дополнительный в процессе выполнения сложения. Если результат суммирования отрицательный, он представлен обратным или дополнительным кодом, в связи с чем осуществляется перевод его в прямой код в конце операции.
Арифм. операция вычитания, как правило, заменяется операцией сложения с операндом, знак которого изменен на противоположный. Алгоритм выполнения сложения для чисел с плавающей запятой отличается от алгоритма сложения с фиксированной запятой тем, что перед непосредственным суммированием выполняется сравнение и выравнивание порядков чисел. Результату суммирования присваивается порядок большего числа, а мантисса приводится к нормализованному виду. Скорость выполнения суммирования в ЦВМ определяется быстродействием сумматоров. Применение схем сквозных, одновременных групповых переносов, асинхронных методов определения завершения переносов, сумматоров с «условными суммами», параллельно-параллельных сумматоров (см. Блоки ЦВМ типовые) повышает скорость выполнения операций сложения и вычитания.
Выполнение суммирования чисел, представленных в десятичной позиционной системе счисления, осуществляется с помощью десятичных сумматоров, типы которых определяются способом кодирования десятичных цифр. Для получения каждой десятичной цифры суммы при двоичном кодировании используются правила двоичного сложения в каждом разряде сумматора с последующей корректировкой цифры суммы, если она превышает цифру девять. Способы корректировки определяются методом кодирования десятичных цифр. Так, напр., при двоичном кодировании десятичных цифр кодом «8, 4, 2, 1» коррекция результата осуществляется прибавлением 6 (ОНО); выход за располагаемое число разрядов, полученный при первом или втором сложении, фиксируется как перенос в старший десятичный разряд. Отрицательные десятичные числа, как и двоичные, кодируются путем образования дополнения каждой цифры десятичного числа до «9», и при использовании самодополняющихся двоичных кодов («2, 4, 2, 1») этот код совпадает с обратным. Алгоритм выполнения сложения десятичных чисел имеет ту же последовательность шагов, что и двоичных чисел.
Умножение. Выполнение арифм. операции умножения для чисел с фиксированной запятой состоит из образования знака произведения и перемножения абсолютных значений сомножителей. Знак произведения равен сумме по модулю 2 знаков сомножителей. Для двоичной системы кодирования чисел умножение абсолютных значений сомножителей состоит из прибавлений множимого к частичному произведению и сдвигов при очередной цифре множителя — «1» или из одних сдвигов при очередной цифре множителя 
При этом в сумматоре накапливаются частичные произведения. Различают четыре варианта умножения сомножителей: умножение на множитель со стороны младших разрядов со сдвигом частичных произведений вправо (множимое неподвижно); умножение на множитель со стороны младших разрядов со сдвигом множимого влево (частичные произведения неподвижны); умножение на множитель со стороны старших разрядов со сдвигом частичных произведений влево (множимое неподвижно); умножение на множитель со стороны старших разрядов со сдвигом множимого вправо (частичные произведения неподвижны).
При умножении чисел, представленных с плавающей запятой, порядок произведения равен сумме порядков сомножителей, а мантисса произведения — произведению мантисс сомножителей (результат приводится к нормализованному виду с одновременной корректировкой порядка). Умножение отрицательных чисел, представленных обратным или дополнительным кодом, производится путем простого умножения этих кодов и введения поправок в предварительный результат, что осуществляется либо в процессе умножения, либо после него. Так, напр., при отрицательном множителе, представленном дополнительным кодом, и положительным множимым, для получения правильного произведения требуется вычесть удвоенное множимое из произведения, полученного простым умножением. При представлении сомножителей обратным кодом обычно осуществляется перевод их в прямой код и умножение выполняется в прямых кодах с последующим преобразованием произведения в обратный код.
Все способы ускорения умножения сводятся к ускорению собственно операции сложения (вычитания), уменьшению общего к-ва сложений (вычитаний), замене одноразрядных сдвигов многоразрядными, совмещению во времени операций сложения и сдвига. Эти способы могут применяться самостоятельно и в любой комбинации, чем и обусловливается многообразие методов. По дополнительным затратам оборудования, необходимого для ускорения
умножения, все методы можно разделить на логические и аппаратные. При логических методах ускорения сохраняется без изменения к-во числовых регистров арифм. устр-ва, а ускорение достигается за счет усложнения устр-ва управления (к-во дополнительного оборудования N не зависит от к-ва разрядов сомножителей 
). Аппаратные методы ускорения требуют введения дополнительного оборудования в регистровую часть арифметического устройства, зависящего от к-ва разрядов сомножителей т.
К логическим методам ускорения умножения относятся: метод пропуска тактов суммирования, если очередная цифра множителя нуль, метод группировки разрядов множителя и использование отрицательных весов разрядов для представления его, метод последовательного преобразования цифр множителя, метод совмещения сложения и сдвига.
Различают аппаратные методы ускорения первого порядка (для них характерна линейная зависимость N от т.) и аппаратные методы второго порядка (к-во дополнительного оборудования пропорционально 
). Аппаратные методы ускорения умножения основаны на введении дополнительных цепей сдвига в регистрах для сокращения к-ва сдвигов и на введении дополнительных суммирующих схем для ускорения сложений. К аппаратным методам 1-го порядка относятся: введение многоразрядных сдвигов, дополнительного сдвинутого сумматора, метод одновременного умножения на старшую и младшую половины множителя, метод неполного суммирования; к аппаратным методам 2-го порядка — использование 
дополнительных суммирующих схем и инверторов, с помощью которых производится умножение на все разряды множителя параллельно.
Умножение чисел, представленных в десятичной системе счисления, может осуществляться с помощью использования таблиц умножения, которые либо хранятся в запоминающем устройстве, либо образуются с помощью набора переключательных цепей. Более простой формой умножения в машинах является умножение с помощью последовательного сложения, при котором умножение на каждую цифру множителя состоит из стольких прибавлений множимого к частичному произведению, сколько единиц содержится в цифре множителя. К-во сложений можно сократить путем использования вычитания множимого из частичных произведений при представлении десятичных цифр множителя от 6 до 9 в виде дополнения до 10 и последующего прибавления 1 к цифре следующего разряда, либо путем использования удвоенного и упятеренного множителя и их комбинации с вычитанием.
Деление и извлечение корня. Т. к. арифм. операции деления и извлечения квадратного корня в программах решения задач встречаются реже, чем остальные арифм. операции, их часто выполняют по подпрограммам с помощью итерационного процесса, включающего сложение, вычитание, умножение. Выполнение этих операций по микропрограммам в арифм. устр-ве приводит к сокращению времени их выполнения по сравнению с подпрограммой при незначительном увеличении к-ва оборудования в общем объеме машины. Процесс деления абсолютных значений чисел, представленных в двоичной системе счисления с фиксированной запятой, заключается в нахождении цифры частного по знаку очередного остатка: при отрицательном остатке цифра частного соответствует «0», при положительном — «1».
В машинах применяется, как правило, метод деления без восстановления остатка (цифре частного присваивают значение «0», если очередной остаток получился отрицательный, и производят удвоение этого остатка с последующим прибавлением делителя). Знак частного определяется, как и при умножении. При делении чисел, представленных с плавающей запятой, порядок результата соответствует разности порядков делителя и делимого с поправкой на нормализацию мантиссы результата. Деление чисел, представленных в обратном или дополнительном коде, не требует коррекций, как при умножении, а прибавление или вычитание делителя из очередного остатка устанавливают, сравнивая знаки остатка и делителя: если они не совпадают, то осуществляется прибавление делителя, если совпадают — вычитание (сложение и вычитание выполняется с учетом алгебр, знаков). Как и при умножении, ускорение операции деления основывается на сокращении к-ва сложений (вычитаний), на ускорении собственно сложений (вычитаний), введении многоразрядных сдвигов и т. д.
К логическим методам ускорения деления относится метод пропуска тактов вычитаний при нормализованном делителе путем анализа старших цифр остатка и замене вычитаний делителя из остатка сдвигами, если в старших разрядах остатка нули (соответствующие цифры частного равны нулям). Если для ускорения умножения используются аппаратные методы, то это же оборудование используется и для ускорения деления (напр., метод неполного суммирования, использование дополнительных сумматоров). Методы деления чисел, представленных в десятичной системе счисления, аналогичны методам деления в двоичной системе. Очередная цифра частного соответствует к-ву последовательных вычитаний делителя из остатка до получения отрицательного остатка.
Алгоритм выполнения операции извлечения квадратного корня, как самостоятельной операции, заключается в определении цифр корня, как и при делении, по знаку остатка, полученного в результате вычитания из очередной грани подкоренного выражения, начиная со старшей, удвоенного частичного корня (вычитание выполняется в дополнительном коде). Порядок результата, представленного плавающей запятой, равен порядку подкоренного выражения, деленному на 2.
В связи с ограниченным к-вом разрядов для представления абсолютных значений чисел выполнение арифм. операций в ЦВМ может привести, с одной стороны, к появлению погрешности вычислений, которая может быть уменьшена введением округления результата (см. Цепь округления). С другой стороны, это может привести к выходу результата за пределы допустимого диапазона представимых чисел, что фиксируется по переполнению либо абсолютного значения результата (для фиксированной запятой), либо по переполнению порядка (для плавающей запятой). Различные модификации арифметической О. н. ч. с плавающей запятой связаны с наличием или отсутствием блокировки округления и нормализации результата.
Сравнение. Выполнение операций сравнения заключается в определении большего или меньшего из двух чисел, либо равенства двух чисел, и сводится к выполнению операции вычитания сравниваемых чисел с последующим анализом результата. Для упрощения выполнения этих операций устр-во должно иметь схему определения равенства числа нулю.
Преобразование числа. Одноместные операции преобразования числа включают операции сдвига числа, замены знака числа, выделения целой части числа, представленного с плавающей запятой, отделения целой части числа от дробной, приведения числа к нормализованному виду, преобразования формы записи целого числа в форму записи действительного числа с плавающей запятой и наоборот, и т. д. Выполнение этих операций осуществляется с помощью элементарной операции сдвига.
Логические операции. Логические операции дизъюнкции, конъюнкции, отрицания, равнозначности, неравнозначности и т. д. определены для булевых переменных. При выполнении этих операций в арифм. устр-вах машинное слово рассматривают как набор булевых переменных и операции выполняются поразрядно (напр., выполнение операции дизъюнкции можно свести к поразрядной передаче по раздельному единичному входу триггера регистра, в котором хранится 1-й операнд, кода 2-го операнда). Все остальные операции с помощью правил преобразований логических выражений можно привести к операции дизъюнкции.
Выполнение О. н. ч. при позиционной системе кодирования имеет существенный недостаток — наличие межразрядных связей, что ограничивает быстродействие арифм. устройств. Использование непозиционных систем счисления для представления чисел (в частности, системы счисления в остаточных классах) позволяет выполнять операции сложения, вычитания, умножения параллельно над цифрами каждого разряда в отдельности вне связей между разрядами, в результате чего скорость выполнения этих операций не зависит от к-ва разрядов и может быть сведена к длительности машинного такта. Мало разрядность остатков, представляющих число, позволяет использовать табличные методы выполнения этих операций. Однако алгоритмы выполнения операций, требующих знания всего числа в целом (определение знака числа, сравнение чисел по величине, деление с округлением результата, определение выхода числа за пределы диапазона представимых чисел), сложнее, чем для позиционных систем счисления.
В настоящее время разработан ряд эффективных методов для выполнения этих операций в системах остаточных классов. Операции, выполняемые по подпрограммам стандартным требуют для реализации неоднократного обращения к запоминающему устройству, где хранятся промежуточные результаты выполнения операций, составляющих этапы стандартной подпрограммы. К этому классу операций относятся, напр., операции возведения в степень, операции преобразования из одной системы счисления в другую, операции над комплексными числами и числами, длина которых превышает длину машинного слова, операции по вычислению тригонометрических функций и нахождению логарифмов.
Лит.: Рабинович 3. Л. [и др.]. Анализ методов многотактного умножения и деления в ЦВМ. «Автоматика и приборостроение», 1962, № 2; Папернов А. А. Логические основы цифровых машин и программирования. М., 1968 [библиогр. о. 583— 585]; Акушский И. Я., Юдицкий Д. И Машинная арифметика в остаточных классах. М. 1968 [библиогр. с. 430—433]; Карцев М. А. Арифметика цифровых машин. М., 1969 [библиогр. с. 559—575]; Ричардс Р. К. Арифметические операции на цифровых вычислительных машинах. Пер. с англ. М., 1957 [библиогр. с. 412—419].
3. М. Кириченко.
