ФОРМАЛИЗМ в математике

— 1) термин, часто употребляемый как синоним термина «формальная система». Применяется при изучении той или иной матем, теории, рассматриваемой с содержательной точки зрения и соответствующих ей формальных систем. Последние наз. Ф. данной содержательной теории. 2) Направление в основаниях математики, в котором матем. теории рассматриваются как интерпретируемые формальные системы (исчисления). Программу этого направления сформулировал нем. математик Д. Гильберт (1862—1943). В основу ее положено допущение, что матем. конструкции можно рассматривать независимо от содержательного смысла матем. понятий. Гильберт, выдвинув свою программу, ставил цель доказать разрешимость и непротиворечивость всей математики. Он считал, что любое утверждение в математике разрешимо. Для этого сама матем. теория должна рассматриваться как неинтерпретируемая формальная система, а изучение ее должно вестись в некоторой метатеории. При метаматем. исследованиях Гильберт допускал только т. н. финитные методы, носящие, чаще всего, комбинаторный характер. Доказательства непротиворечивости по Гильберту должны быть абсолютными, т. е. не должны опираться на интерпретации в др. теориях. Хотя в Геделя теоремах о неполноте показана несостоятельность программы Д. Гильберта, исследования, проведенные в рамках этой программы, имели большое значение для развития других направлений в основаниях математики и для развития многих разделов логики математической (в частности, доказательств теории). Лит.: Клини С. К. Математическая логика. Пер. с англ. М., 1973 [библиогр. с.451-465]. М. И. Кратяо.