ОБУСЛОВЛЕННОСТИ ЧИСЛО

— число невырожденной матрицы которое определяют при помощи формулы , где — знак нормы матрицы. О. зависит от употребляемой нормы матрицы. Для сферической (евклидоной) нормы матрицы

где — соответственно наибольшее и наименьшее собственные числа матрицы А А (см. Собственных значений и собственных векторов матриц способы вычисления); матрица, сопряженная А. Т. о., представляет меру макс. деформации единичной сферы при применении линейного преобразования с матрицей ЛЛ.

Рассмотрим систему линейных ур-ний

где — соответственно заданный и искомый векторы. Матрицу А наз. хорошо обусловленной по отношению к задаче решения системы (1), если относительно невелико. В противном случае матрицу А называют плохо обусловленной. Предположим, что исходные данные системы (1) (элементы А и b) заданы с некоторой погрешностью , т. е. вместо А и b заданы , и требуется оценить, как эта погр. скажется на решении х системы (1). В случае, когда , справедлива оценка

Приведенная оценка неулучшаема и означает, что ограничивает сверху отношение относительной погр. решения х к относительной погр. b — правой части системы является очень важной характеристикой и для случая, когда . В этом случае

т. е. норма погр. , отнесенная к ограничена относительной погр. матрицы А, умноженной на Последнее неравенство также нельзя сделать строгим. Для случая, когда и при условии, что справедлива оценка

позволяющая оценить относительную погр. в определении х через относительные погр. матрицы А и правой части b системы (1). Характерно, что не меняется при умножении матрицы и нормы матрицы на произвольные постоянные.

Следовательно, является глубокой характеристикой матрицы А и позволяет оценить относительную погр. в определении х через

относительные погр. А и b системы (1). Если О. ч. велико (матрица плохо обусловлена), относительная погр. в решении может быть значительно больше относительных погр. матрицы И правой части системы. в. Ю. Кудринский.