ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ.

Многие задачи естествознания и техники сводятся к решению различных классов дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных и др. уравнений. Методы функционального анализа дают возможность рассматривать эти ур-ния как частные случаи операторных ур-ний в функциональных пространствах (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе), напр, в банаховых пространствах. Операторное ур-ние можно записать в виде:

где А — некоторый линейный или нелинейный оператор, действующий из банахова пространства X в банахово пространство Y, у — известный элемент пространства У, Решить ур-ние (1) — это значит найти такой элемент , что . Частными случаями ур-ния (1) являются системы алгебр, и трансцендентных ур-ний, интегр. ур-ния, системы дифф. ур-ний и др. В настоящее время известно много различных методов, позволяющих с определенной степенью точности находить решения операторных ур-ний. К числу наиболее часто применяемых методов относятся итеративные, градиентные, проекционные, проекционно-итеративные и др.

1. Простейшим итеративным методом, который применяется для решения операторных ур-ний вида

где оператор Т действует из X в X (ур-ние (2) — частный случай ур-ния (1)), есть обычный вдтрд последовательных приближений. Он заключается в том, что исходя из некоторого начального приближения последующие приближения определяют по ф-ле

Если оператор Т на некотором замкнутом мн-ве является оператором сжатия, т. е. удовлетворяет условию Липшица

с константой и переводит М в М, то ур-ние (2) имеет в М единственное решение х, к которому сходятся последовательные приближения При этом имеет место оценка погрешности

Если где В — линейный оператор, то по получаем

В данном случае необходимым и достаточным условием сходимости процесса (6) является условие

В качестве q можно взять поэтому достаточным условием сходимости является условие

Для решения систем операторных ур-ний можно применять метод Зейделя. Пусть задана система операторных ур-ний

где операторы действуют из пространства некоторые банаховы пространства). Последовательные приближения к решению системы (7) определяют по ф-лам

Если нелинейный оператор А в ур-нии (1) дифференцируем по Фреше, то для нахождения прибл. решения ур-ния (1) можно применять основной и модифицированный методы Ньютона — Канторовича.

Оператор А наз. дифференцируемым по Фреше в точке если существует такой линейный оператор L, который может зависеть от х, что выполняется равенство , где при Линейный оператор производной Фреше оператора А и обозначается Соответственно последовательные приближения определяют по ф-лам

Пусть для некоторого замкнутого шара производная Фреше удовлетворяет условию и имеют место оценки погрешности

Тогда последовательные приближения (9) и (10) сходятся к решению и соответственно справедливы оценки погрешности

Рассмотрим применение градиентных методов для решения операторных ур-ний. Допустим, что пространство X совпадает с пространством Y и является гильбертовым. Пусть и оператор А имеет производную которая является положительно определенным оператором для всех то есть

Тогда задача нахождения решения ур-ния (1) эквивалентна задаче нахождения минимума функционала

Для нахождения минимума функционала (14) можно применить метод наискорейшего спуска, который заключается в том, что последовательные приближения определяют по ф-ле

где определяют из условия минимума функционала . В случае, если А — линейный положительно определенный ограниченный оператор, параметры определяют по формуле

Если — соответственно нижняя и верхняя границы оператора А, то скорость сходимости характеризуется неравенством

Метод минимальных невязок заключается в том, что последовательные приближения (15) определяют из условия

Если дифференцируемая ф-ция, то определяют из ур-ния

В случае линейного ур-ния параметры определяют по ф-ле

Скорость сходимости характеризуется неравенством (17). Рассмотрим отдельно случай, когда оператор А линейный, и построим итеративный процесс по ф-ле

где А — оператор, сопряженный с . В этом случае можно определить из условия минимума нормы погрешности тогда

Процесс (21—22) сходится со скоростью геом. прогрессии со знаменателем где — соответственно нижняя и верхняя границы оператора АА.

Проекционные методы составляют широкий класс прибл. методов решения операторных ур-ний. Эти методы состоят в что прибл. решение ур-ния (1), принадлежащее некоторому подпространству пространства X, определяется из ур-ния

где проекционный оператор, проектирующий начальное пространство Y на некоторое его подпространство Частным случаем проекционного метода является метод Ритца решения ур-ния (1), в котором оператор А имеет производную, удовлетворяющую условию (13). Заключается он в том, что прибл. решение ищется в виде

где система линейно независимых элементов гильбертова пространства X, а постоянные определяются из условия минимума функционала (14), т. е. из условия 1

Если дифференцируемая ф-ция аргументов то определяются из системы алгебр, или трансцендентных ур-ний

В случае, когда оператор А линейный, систему (26) — линейна и имеет вид

В силу того, что оператор А положительно определенный, определитель системы (27) является определителем Грама, следовательно, система имеет единственное решение.

Более общим, чем метод Ритца, является метод Бубнова — Галеркина. Этот метод можно применять также в случае, когда оператор А не обладает свойством (13). При пользовании методом Бубнова — Галеркина прибл. решение ур-ния (1) ищется в виде (24), а постоянные определяются из условия ортогональности невязки к элементам т. е. из системы алгебр, или трансцендентных ур-ний

Если А — линейный оператор, система (28) имеет вид (27).

Обобщением метода Бубнова—Галеркияа есть метод Галеркина — Петрова, согласно которому постоянные определяют из системы

где — некоторая система линейных функционалов. В случае линейного оператора А система (29) принимает вид

По методу наименьших квадратов прибл. решение ур-ния (1), имеющее вид (24), определяют из условия минимума нормы невязки, т. е. из условия

Постоянные находим из системы ур-ний

Если оператор А линейный, то эту систему можно записать так:

Частным случаем метода Галеркина — Петрова является метод моментов, в котором , где — некоторая система линейно независимых элементов. В данном случае определяют из системы

Для линейных ур-ний в гильбертовом пространстве можно применять метод минимальных погрешностей, согласно которому прибл. решение ур-ния вида (1) ищут в виде линейной комбинации

и постоянные определяют из условия минимума величины При этом для нахождения имеем систему линейных алгебр. ур-ний

Для решения операторных ур-ний применяют также проекционно-итеративные методы, сочетающие в себе идеи как проекционных, так и итеративных методов. Эти методы имеют более широкую область применимости и во многих случаях сходятся значительно быстрее, чем обычные итеративные методы.

Одним из проекционно-итеративных методов есть метод осреднения функциональных поправок Соколова, который состоит в том, что последовательные приближения к решению ур-ния (2) определяются из ур-ний

где Р — проекционный оператор, проектирующий пространство X на его подпространство X конечной или бесконечной размерности, тождественный оператор). Другим вариантом проекционно-итеративного метода осреднения функциональных поправок является метод, по которому определяются как решения ур-ний

В случае, если X — конечномерное подпространство размерности к, решение ур-ний (37) и (38) на каждом шаге сводится к решению систем алгебр, или трансцендентных ур-ний порядка k. Если , где В — линейный оператор, то получающиеся системы — линейны.

Если существует обратный оператор , то из ур-ний (37) и (38) получаем соответственно

Достаточным условием сходимости алгоритмов (37) и (38) является

Условие (39) может выполняться и в случае, когда обычный метод последовательных приближений не сходится. Простейшим достаточным условием сходимости алгоритмов (37) и (38) для ур-ний в банаховом пространстве является условие где — соответственно константы Липшица операторов РТ и QT. Если ур-ние задано в гильбертовом пространстве и Р — оператор ортогонального проектирования, то простейшим условием сходимости алгоритмов (37) и (38) есть неравенство где I — константа Липшица оператора Т. В этом случае, если скорость сходимости характеризуется геометрической прогрессией со знаменателем

Существуют и менее ограничительные условия сходимости и оценки погрешности для различных классов операторов и пространств.

Алгоритмы (37) и (38) вкладываются в схему общего итеративного метода, согласно которому прибл. решения к ур-нию

определяются из ур-ний

где операторы определяются по рекуррентным ф-лам

Если , то алгоритм (40) совпадает с (37), а если , то алгоритм (40) совпадает с алгоритмом (38).

Для операторных ур-ний в частично упорядоченных пространствах часто удается построить две последовательности прибл. решений, которые монотонно (соответственно снизу и сверху) сходятся к искомому решению. Пусть X — частично упорядоченное банахово пространство, а оператор Т в ур-нии (2) можно представить в виде , где при х, и обладает свойством

Если при этом выполняются неравенства

то имеют место соотношения

где определяются по рекуррентным формулам

x - решение ур-ния (2), принадлежащее отрезку Оператор обладает свойством (41), напр., в случае, если , где неубывающий, а невозрастающий операторы. Элементы образуют соответственно неубывающую ограниченную сверху и невозрастающую ограниченную снизу последовательности. Отсюда в некоторых случаях можно сделать вывод о сходимости их соответственно к пределам . Если непрерывный оператор по , то — решение ур-ния (2).

Рассмотренные методы широко используются в практике вычислений на ЭВМ.

Лит.: .