ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

— раздел вычислительной математики, предметом исследования которого являются методы построения и решения приближенных уравнений, аппроксимирующих исходные «точные» ур-ния, а также взаимосвязи между точными и соответствующими приближенными уравнениями. П. м.о..т. возникла на основе применения аппарата функционального анализа к решению различных проблем вычислительной математики. Широкий класс задач вычисл. математики может быть приведен к решению операторных ур-ний нида

где А — матем. оператор с областью определения D (А) и областью значений R (А), у — заданный элемент искомый элемент Обычно D (А) и R (А) принадлежат некоторым пространствам абстрактным (метрическим, линейным нормированным или гильбертовым) соотв. х и у. Приближенный метод ставит в соответствие ур-нию (1) приближенное ур-ние

где А — приближенный оператор с областью определения и областью значений у — заданный, искомый элемент. Случай, когда и R (А) не принадлежит X и У, обычно легко приводится к рассматриваемому. Как правило, А и у зависят от параметров, изменение которых дает последовательность приближенных ур-ний (2). Осн. задачи П. м. о. т.: на основании данных о точном ур-нии (1) установить разрешимость приближенного ур-ния (2) и близость приближенного решения к точному, и, наоборот, на основании результатов приближенного решения установить разрешимость точного ур-ния и близость обоих решений. При определении близости решений в порядке возрастающей точности и трудности возникают следующие три вопроса: установление сходимости приближенного метода; исследование быстроты сходимости; эффективная оценка погрешности. Рассмотрим указанные задачи и вопросы применительно к линейным операторным ур-ниям и к некоторым нелинейным ур-ниям.

В случае линейных ур-ний 2-го рода

и

где — параметры, — вполне непрерывные линейные операторы, линейное нормированное пространство. Предположим, что существует линейная операция Р, проектирующая пространство X на и положим Пусть, напр., пространство непрерывных ф-ций, совокупность многочленов степени не выше Операция Р сопоставляет непрерывной ф-ции ее интерполяционный многочлен (см. Интерполирование функций), построенный по заранее заданной системе п узлов. Пространства X и X и операторы и дальнейшем будем связывать следующими тремя условиями.

1. Условие близости операторов Т и Т: для любого Условие хорошей аппроксимации элементов вида элементами из X: для всякого найдется такое, что Условие хорошей аппроксимации свободного члена точного ур-ния; существует элемент такой, что где в отличие от предыдущих условий зависит от у. Тогда, если оператор имеет обратный то ур-ние (2) имеет единственное решение х при любой правой части т. е. оператор имеет обратный оператор причем погрешность где если, кроме того, то теорема). Обратная теорема утверждает, что если оператор А имеет обратный оператор и то оператор Л имеет обратный оператор

причем где

если, кроме того, , то

Часто приближенное ур-ние (2) строится специальным образом, а именно: в качестве оператора Т рассматривается оператор РТ. Условие 1 при таком выборе, очевидно, выполняется с и формулировки теорем соответственно упрощаются. При стремлении к нулю характеристические значения могут сходиться лишь к характеристическим значениям Вместе с тем каждое из характеристических значений X является пределом характеристических значений к. Конкретным примером ур-ний (1) и (2) могут быть интегральные ур-ния Фредгольма 2-го рода.

Для гильбертовых пространств и линейных операторных ур-вий, отличных от (1), различают след, четыре все более общих случая:

а) А и А — положительно определенные ограниченные операторы, т. е. где знак скалярного произведения; б) — т. н. нормально разрешимые ограниченные операторы, у которых области значений R (А) и R (А) замкнуты; в) А и А — ограниченные операторы; г) Л и А — замкнутые операторы (оператор А наз. замкнутым, если из у вытекает, что iefl (А) и Линейные ур-ния с замкнутыми операторами охватывают линейные дифф., интегральные и интегро-дифф. ур-ния (см. Уравнений классификация), т. е. все наиболее важные классы линейных ур-ний.

В 1-м случае предполагается, что

и

где стремятся к нулю для последовательности приближенных ур-ний при фиксированных остается равномерно ограниченной. Этому условию удовлетворяют практически любые приближенные методы. Пользуясь явным представлением обратных операторов

где

представим погрешность в виде . За счет выбора норму погрешности можно сделать сколь угодно малой, т. е. в данном случае приближенные методы будут всегда сходящимися. На основании (5) и (6) можно также получить эффективную оценку погрешности метода.

Во случае предполагается наряду с (4) более сильное, чем (3), условие

где не зависит от х. Это условие справедливо далеко не для всех приближенных методов и его доказательство обычно сопряжено с большими трудностями. Но если (7) доказано, то имеют место след, результаты. Пусть — пространство нулей оператора ортогональное дополнение к оператор, отображающий на и обратный к оператору (с областью определения Если то оператор обратен к (с областью определения причем погрешность

Если существует и то также существует, причем

и

случае оператор из в вообще говоря, не будет ограниченным и предыдущие результаты не будут справедливы. Один из подходов к приближенному решению ур-ния (1) с таким оператором состоит в предварительной регуляризации задачи (см. Некорректно поставленные задачи и Некорректно поставленных задач способы

решения). Введем ур-ние

где А — оператор, сопряженный А: для любых единичный оператор. Обозначим решение ур-ния (8) через и решение ур-ния (1), ортогональное ко всем нулям оператора Тогда Где когда . В частности, если то Точнее, , где Поэтому, если то

Введем теперь ур-ние решение которого обозначим через Наряду с условиями (3) и (4) допустим еще, что

где для последовательности приближенных ур-ний при фиксированном у. Тогда в силу положительной определенности операторов и величина когда и a — фиксировано. Поэтому, обозначив через х решение приближенного ур-ния (2), ортогональное ко всем нулям оператора А, получим, что погрешность

быть сделана сколь угодно малой, если когда равномерно относительно случае у может не принадлежать области определения оператора А. Вместо ур-ния (8) введем ур-ние и положим . Для сходимости необходимо и достаточно, чтобы х можно было сколь угодно близко аппроксимировать элементами из Кроме того

. Вводя ур-ние полагая и применяя оценку получим, что в условиях (3), (4) и (9) приближенный метод будет сходящимся, если когда равномерно относительно

Конкретными примерами операторных ур-ний рассматриваемых типов могут быть линейные сингулярные интегральные ур-ния, интегральные ур-ния Фредгольма 1-го рода и линейные интегро-дифф. ур-ния. Конкретные приближенные методы для этих ур-ний см. в Интегральных линейных уравнений способы решения, Интегральных линейных сингулярных уравнений способы решения и Операторных уравнений способы решения.

Каким бы приближенным методом ни решалось ур-ние (1), для получения приближенного решения с высокой точностью и для экономии числа необходимых операций целесообразно применять следующие вычисл. схемы итерационного уточнения приближенного решения. Нетрудно видеть, что

Ур-ние (10) решают методом простой итерации:

задано.

Достаточное условие сходимости этого метода Вычислительную схему (11) можно переписать так, что значение оператора в явном виде не потребуется. Действительно

где

и

Другой способ итерационного уточнения состоит в многократном применении исходного приближенного метода к последовательности ур-ний

При этом где следует вычислять с возрастающей точностью.

Рассмотрим основные вопросы П. м. о. т. по отношению к нелинейным операторным ур-ниям вида (1) и (2) в условиях применимости метода простой итерации. Пусть операторы Ф и ф отображают взаимно однозначно пространство X в

причем нуль-элемент пространства X. Представим ур-ние (1) в виде

а ур-ние (2) — в виде

где При этих условиях Будем считать операторы D и D продолженными на все пространство Y. Если выполнены условия , обеспечивающие существование единственного решения х ур-ния (12) в шаре , которое может быть найдено методом простой итерации:

и если, кроме того, где , то ур-ние (13) имеет единственное решение х в шаре которое может быть найдено методом простои итерации: причем

При аналогичное утверждение имеет место с Справедливы также определенные обратные заключения, позволяющие делать вывод о разрешимости ур-ния (12) на основании свойств ур-ния (13). В частности, если для ур-ния (13) выполнены указанные вышеусловия применимости метода простой итерации, и, кроме того, то при ур-ние (12) будет иметь в шаре единственное решение х, причем

Важное значение на практике имеют двусторонние приближенные методы, когда наряду с ур-нием (1) рассматриваются два приближенных ур-ния: и доказывается, что

При этом любое неравенство вида и v в абстрактном линейном пространстве X означает, что конусу в замкнутое выпуклое множество элементов, которое вместе с любым элементом содержит луч и, кроме того, из и, вытекает, что Примерами конусов могут служить совокупности неотрицательных ф-ций и совокупности векторов с неотрицательными координатами. Оператор А наз. монотонным, если из следует оператором монотонного вида, если из следует Соотношение (14) будет выполнено при условии, что А является оператором монотонного вида, Операторы и элементы получаются обычно на основе представлений , где — монотонные операторы и у — конусу в а также на основе построения мажорант и минорант монотонных операторов и элементов конуса Конкретные приближенные методы решения нелинейных операторных ур-ний см. в Интегральных нелинейных уравнений способы решения.

Все предыдущие построения остаются справедливыми, если под операторами А и элементами у подразумевать произвольные приближения соответственно к А и у, возникшие не только за счет применения приближенных методов. Приближения А и у могут возникнуть за счет неточности исходных данных и тогда П. м. о. т. будет давать ответы о влиянии наследственной погрешности решения ур-ния (1). Оценку погрешности округления нередко приводят к оценке эквивалентного возмущения оператора А и элемента у, после чего П. м. о. т. также вступает в силу. Лит.: Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М., 1959 [библиогр. с .671—680]; Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. К., 1968 [библиогр. с. 281 — 285]; Красносельский М. А. [и др.]. Приближенное решение операторных уравнений. М., 1969 [библиогр. с. 437—452]; Коллатп Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. Пер. с нем. М., 1969 [библиогр. с. 422—431].

В. В. Иванов.